Вычислить площадь фигуры Найти площадь сегмента Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом Площадь в полярных координатах Определить объем эллипсоида . Вычислить длину дуги Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически Примеры

Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически

Пример 3. Вычислить длину дуги эллипса

.

  Р е ш е н и е. Перейдем к параметрическому заданию эллипса

, .

 Дифференцируя по , получаем

,

откуда

,

где — эксцентриситет эллипса, .

  Таким образом,

.

Интеграл  не берется в элементарных функциях: он называется эллиптическим интегралом второю рода. Полагая , приводим интеграл к стандартному виду:

.

где  Е()—обозначение для так называемого полного эллиптического интеграла второго рода.

 Следовательно, для длины дуги эллипса имеет место формула .

  Обычно полагают  и пользуются таблицами функции

.

  Например, если  и , то

.

  По таблице значений эллиптических интегралов второго рода находим .

Оказалось, что Монж был совершенно прав: задача решена правильно, примененный метод весьма удачен и остроумен. К тому же его можно было применять к решению очень многих вопросов военной и гражданской техники. За открытие нового метода молодой Монж получил сразу повышение: его из слушателей военно-инженерной школы сразу перевели в преподаватели той же школы.

Выпуклость функции