Вычислить площадь фигуры Найти площадь сегмента Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом Площадь в полярных координатах Определить объем эллипсоида . Вычислить длину дуги Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически Примеры

Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически

Пример 2. Вычислить длину астроиды:, .

 Р е ш е н и е. Дифференцируя по , получим

;

.

Отсюда

.

Так как функция  имеет период , то

.

  Замечание. Если бы мы забыли, что нужно брать арифметическое значение корня, и положили  то получили бы не­верный результат, так как

.

Оказалось, что Монж был совершенно прав: задача решена правильно, примененный метод весьма удачен и остроумен. К тому же его можно было применять к решению очень многих вопросов военной и гражданской техники. За открытие нового метода молодой Монж получил сразу повышение: его из слушателей военно-инженерной школы сразу перевели в преподаватели той же школы.

Выпуклость функции