Вычислить площадь фигуры Найти площадь сегмента Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом Площадь в полярных координатах Определить объем эллипсоида . Вычислить длину дуги Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически Примеры

Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах

Пример 5. Вычислить длину дуги кривой ОАВСО, состоящей из участков кривых  и  (рис.5.2). 

 

Подпись:                   Рис.5.2

  Р е ш е н и е. Достаточно вычислить длины дуг  и , так как в силу симметрии фигуры относительно оси Ох

.

  Решив систему уравнений 

найдем точку А(2, 4).

  Найдем . Здесь

.

Следовательно,

.

  Так как  есть длина дуги окружности радиуса , соответ­ствующей центральному углу arctg 2 , то

  Окончательно имеем

Оказалось, что Монж был совершенно прав: задача решена правильно, примененный метод весьма удачен и остроумен. К тому же его можно было применять к решению очень многих вопросов военной и гражданской техники. За открытие нового метода молодой Монж получил сразу повышение: его из слушателей военно-инженерной школы сразу перевели в преподаватели той же школы.

Выпуклость функции