Вычислить площадь фигуры Найти площадь сегмента Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом Площадь в полярных координатах Определить объем эллипсоида . Вычислить длину дуги Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически Примеры

Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах

Пример 4. Вычислить длину дуги астроиды .

  Р е ш е н и е. Как известно, астроида симметрична относительно осей координат и биссектрис координатных углов. Поэтому доста­точно вычислить длину дуги астроиды, заключенной между биссектрисой и осью Qy, и результат умножить на 8.

  В первой четверти  и  при ,

  при .

 Далее

и

.

Следовательно,

.

  Замечание. Если бы мы сначала стали вычислять длину дуги астроиды, лежащей в первой четверти, то пришли бы к интегралу

. подынтегральная функция которого возрастает до бесконечности при .

Оказалось, что Монж был совершенно прав: задача решена правильно, примененный метод весьма удачен и остроумен. К тому же его можно было применять к решению очень многих вопросов военной и гражданской техники. За открытие нового метода молодой Монж получил сразу повышение: его из слушателей военно-инженерной школы сразу перевели в преподаватели той же школы.

Выпуклость функции