Вычислить площадь фигуры Найти площадь сегмента Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом Площадь в полярных координатах Определить объем эллипсоида . Вычислить длину дуги Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически Примеры

Вычисление обьема тела

Пример 10. Вычислить объем тела, которое получается от вращения кардиоиды , вокруг полярной оси.

  Р е ш е н и е. Кардиоида изображена на рис.2.3 Искомый объем представляет собой разность объемов, получаемых от вращения вокруг оси Ох (она же и полярная ось) фигур MNKLO и OKLO.

 Перейдем, как и в предыдущей задаче, к параметрическому заданию кривой, приняв за параметр полярный угол :

,

.

Очевидно, что абсцисса точки М равна 2а (значение х при ). Абсцисса же точки К есть значение минимума функции .

  Найдем этот минимум:

,

.

 При  получаем , при  получаем .

 Следовательно, искомый объем равен

.

Делая замену , получим

,

Таким образом:

 

 

 

 

  0

 

 

  0

   

В основу своей науки Гаспар положил ортогональное (прямоугольное) проектирование пространственной фигуры на две взаимно перпендикулярные плоскости (горизонтальную и вертикальную) и оригинальный способ ее изображения на плоскости (метод эпюр).

Выпуклость функции