Вычислить площадь фигуры Найти площадь сегмента Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом Площадь в полярных координатах Определить объем эллипсоида . Вычислить длину дуги Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически Примеры

Площадь в полярных координатах

Пример 2. Найти площадь фигуры, лежащей  вне круга  и огра­ниченной кривой  .   Подпись:  

                   Рис.3.2
          

    Р е ш е н и е. Так как функция  имеет период , то при изменении  от  до  радиус-вектор описывает три рав­ных лепестка кривой. При  этом допустимыми для  являются те значения, при которых , откуда Следовательно, один из лепестков опи­сывается при изменении  от  до . Остальные два лепестка полу­чаются при изменении   от  до  и от  до  соответственно (рис. 3.2). Вырезая из лепестков части, принадлежащие кругу , мы полу­чим фигуру, площадь которой нужно определить. Ясно, что искомая площадь равна утроенной площади Найдем полярные координаты точек пересечения М и N. Для этого  решим уравнение  т.е. . Между  и  находятся  только корни  и . . Таким образом, точке N соответствует полярный угол , точке М — угол .Далее из рисунка заключаем, что

Проблески дарования у юного Гаспара Монжа, будущего великого французского математика и инженера, обнаружились очень рано. Уже в 14 лет мальчик изобрел пожарный насос и составил план родного города Бона. Пожарный насос юного Гаспара обладал оригинальней конструкцией и продуманностью всех деталей. Взрослые удивлялись конструктивной способности юного «инженера».

Выпуклость функции