Вычислить площадь фигуры Найти площадь сегмента Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом Площадь в полярных координатах Определить объем эллипсоида . Вычислить длину дуги Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически Примеры

Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы

Пример 6. Вычислить площадь, содержа­щуюся внутри кардиоиды:   ;  

.Подпись:             

Р е ш е н и е. Ввиду периодичности функций  и  достаточно ограничи­ться рассмотрением отрезка . Кри­вая симметрична относительно оси Ох, так как при замене  на  переменная х не меняет своего значения, а   меняет лишь знак; при этом  при изменении t от 0 до . При изменении  от 0 до  функция  убывает от1 до - 1; при этом абсцисса  сначала убывает от  до , а затем воз-растает до . Можно показать, что ордината у возрастает в интервале   и убывает в интервале .Вид  кривой показан на рис.2.3; там же указано направление обхода ее при возрастании

Проблески дарования у юного Гаспара Монжа, будущего великого французского математика и инженера, обнаружились очень рано. Уже в 14 лет мальчик изобрел пожарный насос и составил план родного города Бона. Пожарный насос юного Гаспара обладал оригинальней конструкцией и продуманностью всех деталей. Взрослые удивлялись конструктивной способности юного «инженера».

Выпуклость функции