Вычислить площадь фигуры Найти площадь сегмента Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом Площадь в полярных координатах Определить объем эллипсоида . Вычислить длину дуги Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически Примеры

Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы

Пример 5. Найти площадь петли кривой:  ; .

Подпись:                   Рис. 2.2.           

   Р е ш е н и е. Нас будет интересовать общий вид кривой и точки ее самопересечения. Обе функции  и  определе-ны всей числовой оси . Точка самопересечения характерна тем, что в ней совпа-дают зна­чения абсциссы (и ординаты) при разных значе-ниях параметра. Так как , то абсциссы сов-падают при значениях параметра  . Чтобы функция   принимала при тех же значениях параметра  одно и то же значение, должно выполняться равенство при , откуда . Таким образом, при  и при  имеем  и , т.е. точка (0, 0) является единственной точкой самопересечения. Когда  меняется от 0 до 6, точки кривой лежат в первой четверти.  При изменении  от 0 до 3, точка  описывает нижнюю часть петли, так как в указанном промежутке  и  возрастают, а затем функция  начинает убывать, в то время как   сначала еще возрастает. На рис. 2.2 указан обход кривой, соответствующий возрастанию   (фигура остается слева). Площадь искомой петли удобно искать по формуле.

Проблески дарования у юного Гаспара Монжа, будущего великого французского математика и инженера, обнаружились очень рано. Уже в 14 лет мальчик изобрел пожарный насос и составил план родного города Бона. Пожарный насос юного Гаспара обладал оригинальней конструкцией и продуманностью всех деталей. Взрослые удивлялись конструктивной способности юного «инженера».

Выпуклость функции