; 
.Пример
5. Найти площадь петли кривой:
; .
Р е ш е н и е. Нас будет интересовать
общий вид кривой и точки ее самопересечения. Обе функции 
и 
определе-ны всей числовой оси 
. Точка самопересечения характерна тем, что в ней
совпа-дают значения абсциссы (и ординаты) при разных значе-ниях параметра. Так
как 
, то абсциссы сов-падают при значениях параметра
. Чтобы функция
принимала при тех же значениях параметра 
одно и то же значение, должно выполняться равенство 
при
, откуда 
.
Таким образом, при 
и при 
имеем 
и 
, т.е. точка (0, 0) является единственной точкой самопересечения.
Когда меняется от 0 до 6, точки кривой лежат в первой четверти.
При изменении от 0 до 3, точка 
описывает нижнюю часть петли, так как в указанном промежутке
и 
возрастают, а затем функция начинает убывать, в то время как
сначала еще возрастает. На рис. 2.2 указан обход кривой, соответствующий возрастанию
(фигура остается слева). Площадь искомой петли удобно искать
по формуле
.
Проблески дарования у юного Гаспара Монжа, будущего великого французского математика и инженера, обнаружились очень рано. Уже в 14 лет мальчик изобрел пожарный насос и составил план родного города Бона. Пожарный насос юного Гаспара обладал оригинальней конструкцией и продуманностью всех деталей. Взрослые удивлялись конструктивной способности юного «инженера».