Вычислить площадь фигуры Найти площадь сегмента Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом Площадь в полярных координатах Определить объем эллипсоида . Вычислить длину дуги Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически Примеры

Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы

  Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой .

 Подпись:                       Рис. 2.1.
                      Рис. 2.1
          

   Р е ш е н и е. Для построения кривой учтем, что она симметрична относительно осей координат. Действительно, если заменить  на  то переменная  не меняется, а  изменяет только свой знак; следовательно, кривая симметрична  относительно оси . При замене же  на  переменная  не меняется, а  изменяет только свой знак. Это значит, что кривая сим­метрична  относительно оси . Далее, так как функ­ции  имеют общий период , то достаточно ограничится следующим отрезком изменения параметра: . Из уравнений кривой  легко заключить, что переменные   и  одновременно сохраняют неотрицательные  значения только при изме­нении параметра  на отрезке  поэтому при  получается часть кривой, лежащая в первой четверти. Общий  вид кривой изображен на рис.2.1. Как видно из этого рисунка, достаточно вычислить  площадь одной петли кривой, соответствующей изменению параметра  от  до , и затем удвоить результат

Проблески дарования у юного Гаспара Монжа, будущего великого французского математика и инженера, обнаружились очень рано. Уже в 14 лет мальчик изобрел пожарный насос и составил план родного города Бона. Пожарный насос юного Гаспара обладал оригинальней конструкцией и продуманностью всех деталей. Взрослые удивлялись конструктивной способности юного «инженера».

Выпуклость функции