Вычисление длин дуг Вычисление площади Каноническое уравнение Общее уравнение линий Скалярное произведение векторов Типовой расчет Задача Уравнение равносторонней  гиперболы Ортогональная система координат в пространстве Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия

Скалярное произведение векторов.

Определение : Скалярное произведение ставит в соответствие паре векторов a и b число (a,b)=|a|·|b|·cosφa,b.

 

Свойства скалярного произведения:

1. коммутативность: (a,b)=(b,a)

2. (а,а)=|а|2

3. (a,b)=0 <=> a b

4. Дистрибутивность: (a1+а2,b)= (a1,b)+ (a2,b)

5. (а, λ·b)= λ·(a,b) λ R.

Утверждение 1: В декартовом базисе если а={x1,y1,z1}, b={x2,y2,z2}, то (a,b)=x1·x2+y1·y2+z1·z2.

 

Пример. Найти угол между векторами.

 

Векторное произведение векторов.

 

Определение : Векторным произведением упорядоченной пары векторов a и b называется вектор [a,b], такой что

1.       | [a,b] |=Sa,b, где Sa,b – площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. (Если a || b, то Sa,b=0.)

2.       a [a,b] b.

3.       a, b, [a,b] – правая тройка.

Свойства векторного произведения:

1.       [a,b] = -[b,a]

2.       [a,b] = θ ó a || b

3.       [a1+a2,b] = [a1,b]+[a2,b]

4.       λ·[a,b] = [λ·a,b] = [a,λ·b] λ R.

Утверждение: В декартовой системе координат (базис i, j, k), a={x1, y1, z1}, b={x2, y2, z2}

=> [a,b] =

=

 

 

Смешанное произведение векторов.

 

Определение: Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов a, b и c называется число <a, b, c>, т.ч. <a,b,c>=([a,b],c).

 

Утверждение: <a,b,c>=Va,b,c, если a,b,c – правая тройка, или <a,b,c>= -Va,b,c, если a,b,c – левая тройка. Здесь Va,b,c – объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c. (Если a, b и c компланарны, то Va,b,c=0.)

 

Утверждение: В декартовой системе координат, если a={x1, y1, z1}, b={x2, y2, z2},

с={x3, y3, z3}, => <a,b,c>=.

Выпуклость функции