Вычисление длин дуг Вычисление площади Каноническое уравнение Общее уравнение линий Скалярное произведение векторов Типовой расчет Задача Уравнение равносторонней  гиперболы Ортогональная система координат в пространстве Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия

 

Базисы в V3. Координаты векторов относительно базиса.

Определение: Базисом в пространстве свободных векторов V3 называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Пусть В : а1, а2, а3 – фиксированный базис в V3.

Определение: Координатами вектора b относительно базиса В называется упорядоченная тройка чисел {x, y, z}, т.ч. b=x·a1+ y·а2+z· а3.

Обозначение: b={x, y, z}B

Замечание: Под координатами закреплённого вектора понимают координаты соответствующего ему свободного вектора.

Теорема: Соответствие между V3 и R3 при фиксированном базисе взаимно однозначно, т.е. b V3 ! {x, y, z} R3 и {x, y, z} R3 ! b V3, т.ч. b={x, y, z}B

Соответствие между вектором и его координатами в данном базисе обладает следующими свойствами:

1.        Пусть b1={x1, y1, z1}B, b2={x2, y2, z2}B b1+ b2={x1+ x2, y1+ y2, z1+ z2}B

2.        Пусть b={x, y, z}B, λ R λ·b={ λ·x, λ· y, λ·z}B

3.       Пусть b1|| b2, b1= {x1, y1, z1}B, b2={x2, y2, z2}B
  (Здесь: любое число).

Определение: Ортонормированный ( декартов ) базис – это i, j, k, т.ч.

1) | i |=| j |=| k |=1,

2) i j k i.

Замечание: i, j, k – это стандартное обозначение именно декартова базиса. Т.о., встречая его в тексте можно обойтись без дополнительных пояснений относительно системы координат.

Выпуклость функции