Вычисление длин дуг Вычисление площади Каноническое уравнение Общее уравнение линий Скалярное произведение векторов Типовой расчет Задача Уравнение равносторонней  гиперболы Ортогональная система координат в пространстве Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия

Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы

 Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через  и

  расстояние между ними через 2с, а модуль разности расстоя­ний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2а. По определению 2а < 2с, т. е. а < с.

  Для вывода уравнения гиперболы выберем си-­ стему координат Оху так, чтобы фокусы  и  лежали на оси Ох, а начало координат совпало с серединой отрезка  (см. рис. 31). Тогда фокусы будут иметь координаты . и .

Пусть М(x;y) — произвольная точка гиперболы. Тогда согласно опре­делению гиперболы   или , т.е. . После упрощений, как это было сделано при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравне­ние гиперболы

 

где

  

Гипербола есть линия второго порядка.

Исследование формы гиперболы по ее уравнению

Установим форму гиперболы, пользуясь ее каноническим уравнением.

  1. Уравнение (11.9) содержит х и у только в четных степенях. Следовательно, гипербола симметрична относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки О(0;0), которую называют центром гиперболы.

 2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив у = 0 в уравнении (11.9), находим две точки пересечения гиперболы с осью Ox:   и . Положив х = 0 в (11.9), получаем , чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не пересекает. 

  Точки  и  называются вершинами гиперболы, а отрезок  — действительной осью, отрезок -действительной полуосью гиперболы. 

  Отрезок , соединяющий точки  и  называется мнимой осью, число b — мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 2а и 2Ь называется основным прямоугольником гипер­болы. .

 3. Из уравнения (11.9) следует, что уменьшаемое  не меньше единицы, т. е. что или . Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой х = а (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой х = —а (левая ветвь гиперболы).

 

 

 

 

 

Рис. 32

4. Из уравнения (11.9) гиперболы видно, что когда  возрастает, то и \у\ воз­растает. Это следует из того,что разность  сохраняет постоянное значение, равное единице.

Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рисунке 32 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей).

Асимптоты гиперболы

Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой К, если расстояние d от точки М кривой К до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М вдоль кривой К от начала координат. На рисунке 33 приведена иллюстрация понятия асимптоты: прямая L является асимптотой для кривой К.

 

Покажем, что гипербола  имеет две асимптоты:

   и  

 Так как прямые (11.11) и гипербола (11.9) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти.

Возьмем на прямой  точку N имеющей ту же абсциссу х, что и точка  на гиперболе  (см. рис. 34), и найдем разность MN между ордина­тами прямой и ветви гиперболы:

 

 

 Как видно, по мере возрастания X знаменатель дроби увеличивается; чи­слитель — есть постоянная величина. Стало быть, длина отрезка MN стремится к нулю. Так как MN боль­ше расстояния d от точки М до пря­мой, то d и подавно стремится к ну­лю. Итак, прямые  являются асимптотами гиперболы (11.9).

 

 

 При построении гиперболы (11.9) целесообразно сначала построить ос­новной прямоугольник гиперболы (см. рис. 35), провести прямые, проходя­щие через противоположные вершины этого прямоугольника, — асимптоты гиперболы и отметить вершины  и  гиперболы.

Аналитическая геометрия

 

Вычисление давления, работы и других физических величин

I. Сила давления жидкости Р на площадку S с глубиной погружения h по закону Паскаля равна P=ghS, где g- удельный вес жидкости.

II. Если непрерывная переменная сила X=f(x) действует в направлении оси Ох, то работа силы на отрезке  выражается интегралом 

III. Кинетическая энергия К материальной точки массы m, обладающей скоростью n, выражается формулой

IV. Электрические заряды отталкивают друг друга с силой  где  и - величины  зарядов, r- расстояние между ними.

Замечание. При решении прикладных задач мы будем считать все данные выраженными в одной системе измерений и будем опускать наименования соответствующих величин.

Подпись:  Пример 1. Вычислить силу давления воды на вертикальную треугольную пластинку, имеющую основание b и высоту h, погруженную в воду так, что её вершина лежит на поверхности воды.

Решение. Введём систему координат так, как показано на Рис. 9.1, и рассмотрим горизонтальную полоску, находящуюся на произвольной глубине х и имеющую толщину, равную dx.

Приближённо принимая эту полоску за прямоугольник, находим дифференциал площади dS=MN dx. Из подобия треугольников BMN и ABC имеем MN/b=x/h.

Отсюда MN=bx/h и dS=(bx/h)dx.

Сила давления воды на эту полоску с точностью до бесконечно малых высшего порядка равна dP=x dS (учитывая, что удельный вес воды равен 1). Следовательно, сила давления воды на всю пластинку ABC равна

 

 

Подпись:  Пример 2. Вертикальная плотина имеет форму трапеции, верхнее основание которой равно 70 м, нижнее 50 м, а высота 20 м. Найти силу давления воды на плотину (рис. 9.2).

Решение. Дифференциал площади (dS) заштрихованной на рисунке области приближённо равен dS=MN dx. Учитывая подобие треугольников OML и OAE, находим ML/20=(20-x)/20; отсюда ML=20-x, MN=20-x+50=70-x. Таким образом, dS=MN dx=(70- -x)dx и дифференциал силы давления воды равен

 

Интегрируя по х в пределах от 0 до 20, получим

 

Выпуклость функции