Вычисление длин дуг Вычисление площади Каноническое уравнение Общее уравнение линий Скалярное произведение векторов Типовой расчет Задача Уравнение равносторонней  гиперболы Ортогональная система координат в пространстве Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия

Исследование формы эллипса по его уравнению

Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.

  1.Уравнение (11.7) содержит х и у только в четных степенях, поэто­му если точка  (х; у) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки (х;-y), (-х; у), (х; -у). Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки O(0; 0), которую называют центром эллипса.

  2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив у = 0, находим две точки  и , в которых ось Ох пересекает эллипс (см. рис. 28). Положив в уравнении (11.7) x = 0, находим точки пе­ресечения эллипса с осью Оу;  и. Точки, на­зываются вершинами эллипса. Отрез­ки и, а также их длины 2а и 2Ь называются соответственно боль­шой и малой осями эллипса. Числа а и b называются 

 соответственно боль­шой и малой полуосями эллипса. 

 3. Из уравнения (11.7) следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т. е. имеют место

  неравенства  и или  и . Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми x = ±а, у = ±b.

 4. В уравнении (11.7) сумма неотрицательных слагаемых иравна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т. е. если  возрастает, то уменьшается и наоборот.

Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 28 (овальная замкнутая кривая).

Дополнительные сведения об эллипсе.

 Форма эллипса зависит от отношения . При b=a эллипс превраща­ется в окружность, уравнение эллипса (11.7) принимает вид . В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением .

  Отношение половины расстояния между фокусами к большой полу оси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой  («эпсилон»):

  (11.8)

причем , так как . С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

т. е.

 и 

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс бу­дет менее сплющенным; если положить , то эллипс превращается в окружность.

Пусть М(х;у) — произвольная точка эллипса с фокусамии(см.рис.29).Длины отрезковиназываются фокальными радиусами точ­ки М. Очевидно,

Имеют место формулы

  и .

Прямые   называются директрисами эллипса. Значение дирек­трисы эллипса выявляется 

  следующим утверждением.

Теорема 11.1. Если r — расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d — расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение  есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса:

 

Из равенства (11.6) следует, что а > Ь. Если же а < Ь, то уравнение (11.7) определяет эл­липс, большая ось которого 2Ь лежит на оси Оу, а малая ось 2a — на оси Ох (см. рис. 30). Фокусы такого эллипса находятся в точках и где .

Аналитическая геометрия

 

Вычисление давления, работы и других физических величин

I. Сила давления жидкости Р на площадку S с глубиной погружения h по закону Паскаля равна P=ghS, где g- удельный вес жидкости.

II. Если непрерывная переменная сила X=f(x) действует в направлении оси Ох, то работа силы на отрезке  выражается интегралом 

III. Кинетическая энергия К материальной точки массы m, обладающей скоростью n, выражается формулой

IV. Электрические заряды отталкивают друг друга с силой  где  и - величины  зарядов, r- расстояние между ними.

Замечание. При решении прикладных задач мы будем считать все данные выраженными в одной системе измерений и будем опускать наименования соответствующих величин.

Подпись:  Пример 1. Вычислить силу давления воды на вертикальную треугольную пластинку, имеющую основание b и высоту h, погруженную в воду так, что её вершина лежит на поверхности воды.

Решение. Введём систему координат так, как показано на Рис. 9.1, и рассмотрим горизонтальную полоску, находящуюся на произвольной глубине х и имеющую толщину, равную dx.

Приближённо принимая эту полоску за прямоугольник, находим дифференциал площади dS=MN dx. Из подобия треугольников BMN и ABC имеем MN/b=x/h.

Отсюда MN=bx/h и dS=(bx/h)dx.

Сила давления воды на эту полоску с точностью до бесконечно малых высшего порядка равна dP=x dS (учитывая, что удельный вес воды равен 1). Следовательно, сила давления воды на всю пластинку ABC равна

 

 

Подпись:  Пример 2. Вертикальная плотина имеет форму трапеции, верхнее основание которой равно 70 м, нижнее 50 м, а высота 20 м. Найти силу давления воды на плотину (рис. 9.2).

Решение. Дифференциал площади (dS) заштрихованной на рисунке области приближённо равен dS=MN dx. Учитывая подобие треугольников OML и OAE, находим ML/20=(20-x)/20; отсюда ML=20-x, MN=20-x+50=70-x. Таким образом, dS=MN dx=(70- -x)dx и дифференциал силы давления воды равен

 

Интегрируя по х в пределах от 0 до 20, получим

 

 
Выпуклость функции