Вычисление длин дуг Вычисление площади Каноническое уравнение Общее уравнение линий Скалярное произведение векторов Типовой расчет Задача Уравнение равносторонней  гиперболы Ортогональная система координат в пространстве Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия

Эллипс

  Каноническое уравнение эллипса

 Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, назы­ваемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через  и ,расстояние между ними через 2с, а сумму расстояний от произ­вольной точки эллипса до фокусов  — через 2а 

 Рис.27 (см. рис. 27). По определению 2а > 2с, т.е. a > с.

 Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы   и  лежали на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезка . Тогда фокусы будут иметь следующие координаты:

и .

 Пусть М(х;у) — произвольная точка эллипса. Тогда, согласно опре­делению эллипса, , т. е.

 

Это, по сути, и есть уравнение эллипса.

Преобразуем уравнение (11.5) к более простому виду следующим образом:

Так как a > с, то . Положим

  

Тогда последнее уравнение примет вид или

  

Можно доказать, что уравнение (11.7) равносильно исходному уравнению. Оно называется каноническим уравнением эллипса. Эллипс — кривая второго порядка.

Аналитическая геометрия

 

Вычисление давления, работы и других физических величин

I. Сила давления жидкости Р на площадку S с глубиной погружения h по закону Паскаля равна P=ghS, где g- удельный вес жидкости.

II. Если непрерывная переменная сила X=f(x) действует в направлении оси Ох, то работа силы на отрезке  выражается интегралом 

III. Кинетическая энергия К материальной точки массы m, обладающей скоростью n, выражается формулой

IV. Электрические заряды отталкивают друг друга с силой  где  и - величины  зарядов, r- расстояние между ними.

Замечание. При решении прикладных задач мы будем считать все данные выраженными в одной системе измерений и будем опускать наименования соответствующих величин.

Подпись:  Пример 1. Вычислить силу давления воды на вертикальную треугольную пластинку, имеющую основание b и высоту h, погруженную в воду так, что её вершина лежит на поверхности воды.

Решение. Введём систему координат так, как показано на Рис. 9.1, и рассмотрим горизонтальную полоску, находящуюся на произвольной глубине х и имеющую толщину, равную dx.

Приближённо принимая эту полоску за прямоугольник, находим дифференциал площади dS=MN dx. Из подобия треугольников BMN и ABC имеем MN/b=x/h.

Отсюда MN=bx/h и dS=(bx/h)dx.

Сила давления воды на эту полоску с точностью до бесконечно малых высшего порядка равна dP=x dS (учитывая, что удельный вес воды равен 1). Следовательно, сила давления воды на всю пластинку ABC равна

 

 

Подпись:  Пример 2. Вертикальная плотина имеет форму трапеции, верхнее основание которой равно 70 м, нижнее 50 м, а высота 20 м. Найти силу давления воды на плотину (рис. 9.2).

Решение. Дифференциал площади (dS) заштрихованной на рисунке области приближённо равен dS=MN dx. Учитывая подобие треугольников OML и OAE, находим ML/20=(20-x)/20; отсюда ML=20-x, MN=20-x+50=70-x. Таким образом, dS=MN dx=(70- -x)dx и дифференциал силы давления воды равен

 

Интегрируя по х в пределах от 0 до 20, получим

 

 

Выпуклость функции