ЛИНИИ НА ЛОСКОСТИ

Вычисление длин дуг Вычисление площади Каноническое уравнение Общее уравнение линий Скалярное произведение векторов Типовой расчет Задача Уравнение равносторонней  гиперболы Ортогональная система координат в пространстве Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия

 

2. ЛИНИИ НА ЛОСКОСТИ

2.2. Уравнения прямой на плоскости

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания пря­мой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.

 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллель­ная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой Ь точки N(0; b) пересечения с осью Оу и углом а между осью Ох и прямой (см. рис. 19).

 

 Под углом  наклона прямой понима­ется наименьший угол, на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и оси Ох против часовой стрелки ось Ох до ее совпадения с прямой.

Возьмем на прямой произвольную точку М(х;у) (см. рис. 19).

 

Проведем через точку N ось Nx', па­раллельную оси Ох и одинаково с ней направлен­ную. Угол между осью Nx' и прямой равен a. В си­стеме Nx'y точка М имеет координаты х и у - b. Из определения тангенса угла следует равенство  т.е.  Введем обозначение и получаем уравнение 

 

 (5)

которому удовлетворяют координаты любой точки М(х; у) прямой. Мож­но убедиться, что координаты любой точки Р(х;у), лежащей вне данной прямой, уравнению (5) не удовлетворяют.

Число k = tg a называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (5) — уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и, следова­тельно, уравнение этой прямой будет иметь вид у = kx.

Если прямая параллельна оси Ох, то a= 0, следовательно, k = tg a = 0 и уравнение (5) примет вид  у = b.

Если прямая параллельна оси Оу, то , уравнение (5) теряет смысл, т. к. для нее угловой коэффициент - не существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид

x = a, (6)

где a - абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, что уравнения (5) и (6) есть уравнения первой степени.

Общее уравнение прямой

Рассмотрим уравнение первой степени относительно х и у в общем виде

Ax + By + C = 0, (7)

 

где А, В, С — произвольные числа, причем А и В не равны нулю одно­временно.

Покажем, что уравнение (7) есть уравнение прямой линии. Возмож­ны два случая.

Если В = 0, то уравнение (10.4) имеет вид Ax + С = 0, причем А ¹ 0, т.е.  Это есть уравнение прямой, параллельной оси Оу и проходящей через точку

Если В ¹ 0, то из уравнения (7) получаем

Это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом

Итак, уравнение (7) есть уравнение прямой линии, оно называется общим уравнением прямой.

Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:

1) если А = 0, то уравнение приводится к виду . Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох;

2) если В = 0, то прямая параллельна оси Ox;

 

3) если С = 0, то получаем Ах +Ву=0. Уравнению удовлетворяют координаты точки O (0;0), прямая проходит через начало координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая проходит через точку М(xо;yо) и ее направление ха­рактеризуется угловым коэффициентом k. Уравнение этой прямой можно записать в виде у = kx + Ь, где b — пока неизвестная величина. Так как прямая проходит через точку М(хоо), то координаты точки удовлетво­ряют уравнению прямой: уо = kxo + Ь. Отсюда  b = уо — kxo. Подставляя значение b  в уравнение у = kx + b, получим искомое уравнение прямой у = kx + уо — kxo, т. е.

 (8)

Уравнение (8) с различными значениями k называют также уравне­ниями пучка прямых с центром в точке М(хоо). Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Оу.

 

 

Уравнение прямой, проходящей через две точки

 

Пусть прямая проходит через точки M1(x1;y1) и М22; у2). Уравнение прямой, проходящей через точку M1, имеет вид

 (9)

где k — пока неизвестный коэффициент.

Так как прямая проходит через точку М2 (x ; y2), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (9): у2 — у1 == k(x2 - x1). От­сюда находим . Подставляя найденное значение k  в уравне­ние (9) получим уравнение прямой, проходящей через точки M1 и M2 :

 (10)

Предполагается, что в этом уравнении x1 ¹ x2, y1 ¹ y2 .

Если х2 = х1, то прямая, проходящая через точки M1(x1;y1) и М2(x22), параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид х = х1.

Если у2 = y1 то уравнение прямой может быть записано в виде у = у1, прямая M1 М2 параллельна оси абсцисс.

 

Уравнение прямой в отрезках

 

 

 

Пусть прямая пересекает ось Ox в точке М1(a;0), а ось Oy – в точке М2(0;b) (см. рис. 20). В этом случае уравнение (10) примет вид т.е.

 

 

Это уравнение называется уравнением пря­мой в отрезках, так как числа a и b указы­вают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

 

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

 

Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку Мооо)  перпендикулярно данному ненулевому вектору.

Возьмем на прямой произвольную точку М(х, у) и рассмотрим вектор

 (см. рис. 21). Поскольку векторы  и  перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:  •  = 0, то есть 

 

 (11) 

Уравнение (11) называется уравнением прямой, про­ходящей через заданную точку перпендикулярно задан­ному вектору.

Вектор , перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой.

Уравнение (11) можно переписать в виде

 (12) 

где А и В — координаты нормального вектора,

С = - Ахо - Byо сво­бодный член. Уравнение (12) есть общее уравнение прямой (см. (7)).

 

 

 

Полярное уравнение прямой

 

Найдем уравнение прямой в полярных координатах. Ее положение можно опреде­лить, указав расстояние р от полюса О до данной прямой и угол а между полярной осью ОР и осью l , проходящей через полюс О перпендикулярно данной прямой (см. рис.22).

 

Для любой точки М(г; j) на данной прямой имеем:

 

С другой стороны,

Следовательно,

 (13)

Полученное уравнение (13) и есть уравнение прямой в полярных коор­динатах. 

 

Нормальное уравнение прямой

 

Пусть прямая определяется заданием р и a (см. рис. 45). Рассмотрим прямоугольную систему координат Оху. Введем полярную систему, взяв О за полюс и Ох за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде

 

т.е.

Но, в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные координаты, имеем: r cos j = x, r sin j = у. Следовательно, уравнение (13) прямой в прямоугольной системе координат примет вид

 

 (14)

 

 

 

Уравнение (14) называется нормальным уравнением прямой.

 

 

 

Покажем, как привести уравнение (7) прямой к виду (14).

Умножим все члены уравнения (7) на некоторый множитель . Получим lАх + lВу + lС = 0. Это уравнение долж­но обратиться в уравнение (14). Следо­вательно, должны выполняться равенства:

l А = cos a, l В = sin a, lС = - р. Из пер­вых двух равенств находим l2 А2 + l2 В2 = cos2 a + sin2 a, т. е. . Множитель l называется нормирующим мно­жителем. Согласно третьему равенству

lС = - р знак нормирующего множителя противоположен знаку свобод­ного члена С общего уравнения прямой.

Пример.  Привести уравнение - 3x + 4y +15=0 к нормальному виду.

Решение: Находим нормирующий множитель Умножая данное уравнение на l, получим искомое нормальное уравнение прямой:

Аналитическая геометрия

 

Вычисление давления, работы и других физических величин

I. Сила давления жидкости Р на площадку S с глубиной погружения h по закону Паскаля равна P=ghS, где g- удельный вес жидкости.

II. Если непрерывная переменная сила X=f(x) действует в направлении оси Ох, то работа силы на отрезке  выражается интегралом 

III. Кинетическая энергия К материальной точки массы m, обладающей скоростью n, выражается формулой

IV. Электрические заряды отталкивают друг друга с силой  где  и - величины  зарядов, r- расстояние между ними.

Замечание. При решении прикладных задач мы будем считать все данные выраженными в одной системе измерений и будем опускать наименования соответствующих величин.

Подпись:  Пример 1. Вычислить силу давления воды на вертикальную треугольную пластинку, имеющую основание b и высоту h, погруженную в воду так, что её вершина лежит на поверхности воды.

Решение. Введём систему координат так, как показано на Рис. 9.1, и рассмотрим горизонтальную полоску, находящуюся на произвольной глубине х и имеющую толщину, равную dx.

Приближённо принимая эту полоску за прямоугольник, находим дифференциал площади dS=MN dx. Из подобия треугольников BMN и ABC имеем MN/b=x/h.

Отсюда MN=bx/h и dS=(bx/h)dx.

Сила давления воды на эту полоску с точностью до бесконечно малых высшего порядка равна dP=x dS (учитывая, что удельный вес воды равен 1). Следовательно, сила давления воды на всю пластинку ABC равна

 

 

Подпись:  Пример 2. Вертикальная плотина имеет форму трапеции, верхнее основание которой равно 70 м, нижнее 50 м, а высота 20 м. Найти силу давления воды на плотину (рис. 9.2).

Решение. Дифференциал площади (dS) заштрихованной на рисунке области приближённо равен dS=MN dx. Учитывая подобие треугольников OML и OAE, находим ML/20=(20-x)/20; отсюда ML=20-x, MN=20-x+50=70-x. Таким образом, dS=MN dx=(70- -x)dx и дифференциал силы давления воды равен

 

Интегрируя по х в пределах от 0 до 20, получим

 

Выпуклость функции