Вычисление длин дуг Вычисление площади Каноническое уравнение Общее уравнение линий Скалярное произведение векторов Типовой расчет Задача Уравнение равносторонней  гиперболы Ортогональная система координат в пространстве Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия

1.СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

2. Основные приложения метода координат на плоскости

Расстояние между двумя точками

Требуется найти расстояние d между точками А(х11) и В(х22) плоскости Оху.

 Решение: Искомое расстояние d равно длине вектора ,т.е.

Деление отрезка в данном отношении. Требуется разделить отрезок АВ, соединяющий точки А(х11)и B(x2;y2) в заданном отношении l > 0, т.е. найти координаты точки М(х;у) отрезка АВ такой, что  (см. рис. 4).

 Решение: Введем в рассмотрение векторы и . Точка М делит отрезок АВ в отношении l, если

. (1)

Но т.е.  и т.е.  Уравнение (1) принимает вид

Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем

 

 

 

 т.е.  (2)

 

 т.е.  (3)

 

Формулы (9.2) и (9.3) называются формулами деления от­резка в данном отношении. В частности, при l=1, т.е. если АМ=МВ, то они примут вид , .  В этом случае точка М(х; у) является серединой отрезка АВ.

Замечание: Если l = 0, то это означает, что точки А и М совпадают, если l < 0, то точка М лежит вне отрезка АВ — говорят, что точка М делит отрезок АВ внешним образом (l¹ -1 , т. к. в противном случае  т. е. AM + MB = 0, т. е. АВ = 0).

Площадь треугольника

Требуется найти площадь треугольника АВС с вершинами А(х11),В(х2; y2), С(х33).

 Решение: Опустим из вершин А, В, С пер­пендикуляры АА1, BB1, CC1 на ось Ох (см. рис. 5). Очевидно, что

 

 

.

 

Поэтому

 

 т.е.

Замечание: Если при вычислении площади треугольника получим S = 0, то это означает, что точки А, В, С лежат на одной прямой, если же получим отрицательное число, то следует взять его модуль.

Аналитическая геометрия

 

Вычисление давления, работы и других физических величин

I. Сила давления жидкости Р на площадку S с глубиной погружения h по закону Паскаля равна P=ghS, где g- удельный вес жидкости.

II. Если непрерывная переменная сила X=f(x) действует в направлении оси Ох, то работа силы на отрезке  выражается интегралом 

III. Кинетическая энергия К материальной точки массы m, обладающей скоростью n, выражается формулой

IV. Электрические заряды отталкивают друг друга с силой  где  и - величины  зарядов, r- расстояние между ними.

Замечание. При решении прикладных задач мы будем считать все данные выраженными в одной системе измерений и будем опускать наименования соответствующих величин.

Подпись:  Пример 1. Вычислить силу давления воды на вертикальную треугольную пластинку, имеющую основание b и высоту h, погруженную в воду так, что её вершина лежит на поверхности воды.

Решение. Введём систему координат так, как показано на Рис. 9.1, и рассмотрим горизонтальную полоску, находящуюся на произвольной глубине х и имеющую толщину, равную dx.

Приближённо принимая эту полоску за прямоугольник, находим дифференциал площади dS=MN dx. Из подобия треугольников BMN и ABC имеем MN/b=x/h.

Отсюда MN=bx/h и dS=(bx/h)dx.

Сила давления воды на эту полоску с точностью до бесконечно малых высшего порядка равна dP=x dS (учитывая, что удельный вес воды равен 1). Следовательно, сила давления воды на всю пластинку ABC равна

 

 

Подпись:  Пример 2. Вертикальная плотина имеет форму трапеции, верхнее основание которой равно 70 м, нижнее 50 м, а высота 20 м. Найти силу давления воды на плотину (рис. 9.2).

Решение. Дифференциал площади (dS) заштрихованной на рисунке области приближённо равен dS=MN dx. Учитывая подобие треугольников OML и OAE, находим ML/20=(20-x)/20; отсюда ML=20-x, MN=20-x+50=70-x. Таким образом, dS=MN dx=(70- -x)dx и дифференциал силы давления воды равен

 

Интегрируя по х в пределах от 0 до 20, получим

 

Выпуклость функции