Вычисление длин дуг Вычисление площади Каноническое уравнение Общее уравнение линий Скалярное произведение векторов Типовой расчет Задача Уравнение равносторонней  гиперболы Ортогональная система координат в пространстве Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия

 

1.СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

 

1.1. Основные понятия

Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат.

Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными  прямыми - осями, на каждой из которых выбрано, положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок. Единицу

 мас­штаба обычно берут  

 одинаковой для обеих осей. Эти оси называют осями координат, точку их пересечения О — началом координат. Одну из осей называют осью абсцисс (осью Ох), другую – осью ординат (осью Оу) (рис. 1).

На рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и направленной слева направо, а ось ординат - вертикально и направленной снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области - четверти (или квадранты). Единичные векторы осей обозначают  и  (|| = \\ = 1,  ).  Систему координат обозначают Оху (или O), а плоскость, в которой расположена система координат, называют координатной плоскостью.

Рассмотрим произвольную точку М плоскости Оху. Вектор на­зывается радиусом-вектором точки М.

  Координатами точки М в системе координат Оху (O) называ­ются координаты радиуса-вектора . Если  = {х;у), то координаты точки М записывают так: М(х;у), число х называется абсциссой точки М,

у — ординатой точки М.

Эти два числа х и у полностью определяют положение точки на плос­кости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единственная  

 точка М  плоскости, и наоборот.

 

 

Другой практически важной системой координат является полярная система координат. Полярная система координат задается точкой О, на­зываемой полюсом, лучом Ор, называемым полярной осью, и единичным вектором   того же направления, что и луч Ор.

Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение точки М определяется двумя числами:

ее расстоянием r от полюса О и углом j, образован­ным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведет­ся в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (см. рис. 2).

Числа г и j называются полярными координатами точки М, пи­шут М(г; j), при этом г называют полярным радиусом, у — полярным углом.

Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол j ограничить промежутком (-p;p]

(или 0£ j< 2 p), а полярный радиус — [0; ¥). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел г и j, и обратно.

Установим связь между прямоугольными и полярными координатами. Для этого совместим полюс О с началом координат системы Оху, а поляр­ную ось - с положительной полуосью Ох. Пусть х и у — прямоугольные координаты точки М, а r и j — ее полярные координаты.

Из рисунка 3 видно, что прямоугольные координа­ты точки М выражаются через полярные координаты точки следующим образом:

 

Полярные же координаты точки М выражаются че­рез ее декартовы координаты (тот же рисунок) такими формулами:

Определяя величину j, следует установить (по знакам х и у) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что -p£ j< 2p.

Пример 1. Дана точка М(-1;-). Найти полярные координаты точки М.

 Решение: Находим г и j:

Отсюда . Но так как точка М лежит в 3-й четверти, то и Итак, полярные координаты точки М есть r=2, , т.е. М(2; ).

Аналитическая геометрия

 

Вычисление давления, работы и других физических величин

I. Сила давления жидкости Р на площадку S с глубиной погружения h по закону Паскаля равна P=ghS, где g- удельный вес жидкости.

II. Если непрерывная переменная сила X=f(x) действует в направлении оси Ох, то работа силы на отрезке  выражается интегралом 

III. Кинетическая энергия К материальной точки массы m, обладающей скоростью n, выражается формулой

IV. Электрические заряды отталкивают друг друга с силой  где  и - величины  зарядов, r- расстояние между ними.

Замечание. При решении прикладных задач мы будем считать все данные выраженными в одной системе измерений и будем опускать наименования соответствующих величин.

Подпись:  Пример 1. Вычислить силу давления воды на вертикальную треугольную пластинку, имеющую основание b и высоту h, погруженную в воду так, что её вершина лежит на поверхности воды.

Решение. Введём систему координат так, как показано на Рис. 9.1, и рассмотрим горизонтальную полоску, находящуюся на произвольной глубине х и имеющую толщину, равную dx.

Приближённо принимая эту полоску за прямоугольник, находим дифференциал площади dS=MN dx. Из подобия треугольников BMN и ABC имеем MN/b=x/h.

Отсюда MN=bx/h и dS=(bx/h)dx.

Сила давления воды на эту полоску с точностью до бесконечно малых высшего порядка равна dP=x dS (учитывая, что удельный вес воды равен 1). Следовательно, сила давления воды на всю пластинку ABC равна

 

 

Подпись:  Пример 2. Вертикальная плотина имеет форму трапеции, верхнее основание которой равно 70 м, нижнее 50 м, а высота 20 м. Найти силу давления воды на плотину (рис. 9.2).

Решение. Дифференциал площади (dS) заштрихованной на рисунке области приближённо равен dS=MN dx. Учитывая подобие треугольников OML и OAE, находим ML/20=(20-x)/20; отсюда ML=20-x, MN=20-x+50=70-x. Таким образом, dS=MN dx=(70- -x)dx и дифференциал силы давления воды равен

 

Интегрируя по х в пределах от 0 до 20, получим

 

Выпуклость функции