Вычисление длин дуг Вычисление площади Каноническое уравнение Общее уравнение линий Скалярное произведение векторов Типовой расчет Задача Уравнение равносторонней  гиперболы Ортогональная система координат в пространстве Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия


Вычисление статических моментов и моментов инерции.

Определение координат центра тяжести.

Во всех задачах этого параграфа мы будем считать, что масса равномерно распределена по телу (линейному, плоскому, пространственному) и что плотность равна единице.

1.  Для плоской кривой L статические моменты  и  относительно координатных осей Ох и Оу выражаются формулами 

Момент инерции относительно начала координат

При задании кривой L явным уравнением  в этих формулах надо заменить dl на

При задании кривой L параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t)   в этих формулах надо заменить dl на

2. Для плоской фигуры, ограниченной кривыми  и прямыми x=a, x=b (a£x£b) статические моменты выражаются формулами

3. Центр тяжести плоской кривой L имеет координаты  где l- длина кривой L. Центр тяжести плоской фигуры имеет координаты  где S- площадь фигуры.


Пример 1. Найти статический момент верхней части эллипса относительно оси Ох. 


Решение. Для эллипса

  

так как

 и  

то

 

где e- эксцентриситет эллипса, .

Интегрируя от –а до а, находим

 


В случае окружности, т. е. При a=b, будем иметь , так как при этом e=0 и

 

 

Подпись:  
     Рис. 10.1
Пример 2. Найти момент инерции прямоугольника с основанием b и высотой h относительно его основания.

Решение (sucks). Выделим из прямоугольника элементарную полоску, параллельную основанию, отстоящею от основания на расстоянии у и имеющую ширину dy.

Масса полоски равна её площади dS=bdy, а расстояния от всех её точек до основания равны у с точностью до dy. Поэтому  и


Пример 3. Вычислить момент инерции относительно оси Оу фигуры, ограниченной параболой   и прямой х=а.

Решение. Имеем , где dS- площадь вертикальной полоски на расстоянии х от оси Оу (рис. 10. 1);


Отсюда


Пример 4. При расчёте балочных деревянных мостов часто приходится иметь дело с круглыми брёвнами, отёсанными на два канта (рис. 10. 2). Определить момент инерции подобного сечения относительно горизонтальной средней линии.

Решение. Расположим систему координат, как показано на рисунке. Тогда (обозначения см. на рис. 10. 2)  где dS=Mndy=2xdy=2


Отсюда 

Произведя подстановку  = получим


В частности, при h=R получаем момент инерции круга относительно одного из диаметров:  

Аналитическая геометрия

 

Вычисление давления, работы и других физических величин

I. Сила давления жидкости Р на площадку S с глубиной погружения h по закону Паскаля равна P=ghS, где g- удельный вес жидкости.

II. Если непрерывная переменная сила X=f(x) действует в направлении оси Ох, то работа силы на отрезке  выражается интегралом 

III. Кинетическая энергия К материальной точки массы m, обладающей скоростью n, выражается формулой

IV. Электрические заряды отталкивают друг друга с силой  где  и - величины  зарядов, r- расстояние между ними.

Замечание. При решении прикладных задач мы будем считать все данные выраженными в одной системе измерений и будем опускать наименования соответствующих величин.

Подпись:  Пример 1. Вычислить силу давления воды на вертикальную треугольную пластинку, имеющую основание b и высоту h, погруженную в воду так, что её вершина лежит на поверхности воды.

Решение. Введём систему координат так, как показано на Рис. 9.1, и рассмотрим горизонтальную полоску, находящуюся на произвольной глубине х и имеющую толщину, равную dx.

Приближённо принимая эту полоску за прямоугольник, находим дифференциал площади dS=MN dx. Из подобия треугольников BMN и ABC имеем MN/b=x/h.

Отсюда MN=bx/h и dS=(bx/h)dx.

Сила давления воды на эту полоску с точностью до бесконечно малых высшего порядка равна dP=x dS (учитывая, что удельный вес воды равен 1). Следовательно, сила давления воды на всю пластинку ABC равна

 

 

Подпись:  Пример 2. Вертикальная плотина имеет форму трапеции, верхнее основание которой равно 70 м, нижнее 50 м, а высота 20 м. Найти силу давления воды на плотину (рис. 9.2).

Решение. Дифференциал площади (dS) заштрихованной на рисунке области приближённо равен dS=MN dx. Учитывая подобие треугольников OML и OAE, находим ML/20=(20-x)/20; отсюда ML=20-x, MN=20-x+50=70-x. Таким образом, dS=MN dx=(70- -x)dx и дифференциал силы давления воды равен

 

Интегрируя по х в пределах от 0 до 20, получим

 

Выпуклость функции