Вычисление длин дуг Вычисление площади Каноническое уравнение Общее уравнение линий Скалярное произведение векторов Типовой расчет Задача Уравнение равносторонней  гиперболы Ортогональная система координат в пространстве Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия

Вычисление длин дуг кривых, заданных в полярных координатах.


Если гладкая кривая задана уравнением  в полярных координатах, то длина дуги l кривой выражается интегралом:


где и - значения полярного угла φ в концах дуги .

Пример 1. Найти длину первого витка архимедовой спирали r=aj Графики функции Построить графики функций с помощью производной первого порядка.


Решение. Первый виток архимедовой спирали образуется при изменении полярного угла j от 0 до 2. Поэтому


Пример 2. Вычислить длину логарифмической спирали  от некоторой её точки  до переменной точки .

Решение. В этом случае (независимо от того, какая из величин r или  больше!)


т.е. длина дуги логарифмической спирали пропорциональна приращению полярного радиуса дуги.

Пример 3. Найти длину дуги кардиоиды

 
Решение. Здесь ,

 

  Следовательно, в силу симметрии,

 

Пример 4. Найти длину дуги лемнискаты  от правой вершины, отвечающей j=0, до любой точки с полярным углом jáp/4.


Решение. Если 0£jáp/4, то соs2jñ0. Поэтому


Следовательно,

Последний интеграл называется эллиптическим интегралом первого рода и его можно привести к виду, удобному для вычисления с помощью специальных таблиц.

Аналитическая геометрия

 

Вычисление давления, работы и других физических величин

I. Сила давления жидкости Р на площадку S с глубиной погружения h по закону Паскаля равна P=ghS, где g- удельный вес жидкости.

II. Если непрерывная переменная сила X=f(x) действует в направлении оси Ох, то работа силы на отрезке  выражается интегралом 

III. Кинетическая энергия К материальной точки массы m, обладающей скоростью n, выражается формулой

IV. Электрические заряды отталкивают друг друга с силой  где  и - величины  зарядов, r- расстояние между ними.

Замечание. При решении прикладных задач мы будем считать все данные выраженными в одной системе измерений и будем опускать наименования соответствующих величин.

Подпись:  Пример 1. Вычислить силу давления воды на вертикальную треугольную пластинку, имеющую основание b и высоту h, погруженную в воду так, что её вершина лежит на поверхности воды.

Решение. Введём систему координат так, как показано на Рис. 9.1, и рассмотрим горизонтальную полоску, находящуюся на произвольной глубине х и имеющую толщину, равную dx.

Приближённо принимая эту полоску за прямоугольник, находим дифференциал площади dS=MN dx. Из подобия треугольников BMN и ABC имеем MN/b=x/h.

Отсюда MN=bx/h и dS=(bx/h)dx.

Сила давления воды на эту полоску с точностью до бесконечно малых высшего порядка равна dP=x dS (учитывая, что удельный вес воды равен 1). Следовательно, сила давления воды на всю пластинку ABC равна

 

 

Подпись:  Пример 2. Вертикальная плотина имеет форму трапеции, верхнее основание которой равно 70 м, нижнее 50 м, а высота 20 м. Найти силу давления воды на плотину (рис. 9.2).

Решение. Дифференциал площади (dS) заштрихованной на рисунке области приближённо равен dS=MN dx. Учитывая подобие треугольников OML и OAE, находим ML/20=(20-x)/20; отсюда ML=20-x, MN=20-x+50=70-x. Таким образом, dS=MN dx=(70- -x)dx и дифференциал силы давления воды равен

 

Интегрируя по х в пределах от 0 до 20, получим

 

Выпуклость функции