Аналитическая геометрия

Задача 12. Написать канонические уравнения прямой.

Учебные материалы  Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия

 

2. ЛИНИИ НА ЛОСКОСТИ

2.2. Уравнения прямой на плоскости

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания пря­мой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.

 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллель­ная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой Ь точки N(0; b) пересечения с осью Оу и углом а между осью Ох и прямой (см. рис. 19).

 

 Под углом  наклона прямой понима­ется наименьший угол, на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и оси Ох против часовой стрелки ось Ох до ее совпадения с прямой.

Возьмем на прямой произвольную точку М(х;у) (см. рис. 19).

 

Проведем через точку N ось Nx', па­раллельную оси Ох и одинаково с ней направлен­ную. Угол между осью Nx' и прямой равен a. В си­стеме Nx'y точка М имеет координаты х и у - b. Из определения тангенса угла следует равенство  т.е.  Введем обозначение и получаем уравнение 

 

 (5)

которому удовлетворяют координаты любой точки М(х; у) прямой. Мож­но убедиться, что координаты любой точки Р(х;у), лежащей вне данной прямой, уравнению (5) не удовлетворяют.

Число k = tg a называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (5) — уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и, следова­тельно, уравнение этой прямой будет иметь вид у = kx.

Если прямая параллельна оси Ох, то a= 0, следовательно, k = tg a = 0 и уравнение (5) примет вид  у = b.

Если прямая параллельна оси Оу, то , уравнение (5) теряет смысл, т. к. для нее угловой коэффициент - не существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид

x = a, (6)

где a - абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, что уравнения (5) и (6) есть уравнения первой степени.

Общее уравнение прямой

Рассмотрим уравнение первой степени относительно х и у в общем виде

Ax + By + C = 0, (7)

 

где А, В, С — произвольные числа, причем А и В не равны нулю одно­временно.

 

 

Выпуклость функции