2. ЛИНИИ НА ЛОСКОСТИ

2.2. Уравнения прямой на плоскости

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания пря­мой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллель­ная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой Ь точки N(0; b) пересечения с осью Оу и углом а между осью Ох и прямой (см. рис. 19).

 Под углом  наклона прямой понима­ется наименьший угол, на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и оси Ох против часовой стрелки ось Ох до ее совпадения с прямой.

Возьмем на прямой произвольную точку М(х;у) (см. рис. 19).

Проведем через точку N ось Nx', па­раллельную оси Ох и одинаково с ней направлен­ную. Угол между осью Nx' и прямой равен a. В си­стеме Nx'y точка М имеет координаты х и у - b. Из определения тангенса угла следует равенство  т.е.  Введем обозначение и получаем уравнение 

 (5)

которому удовлетворяют координаты любой точки М(х; у) прямой. Мож­но убедиться, что координаты любой точки Р(х;у), лежащей вне данной прямой, уравнению (5) не удовлетворяют.

Число k = tg a называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (5) — уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и, следова­тельно, уравнение этой прямой будет иметь вид у = kx.

Если прямая параллельна оси Ох, то a= 0, следовательно, k = tg a = 0 и уравнение (5) примет вид  у = b.

Если прямая параллельна оси Оу, то , уравнение (5) теряет смысл, т. к. для нее угловой коэффициент - не существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид

x = a, (6)

где a - абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, что уравнения (5) и (6) есть уравнения первой степени.

Общее уравнение прямой

Рассмотрим уравнение первой степени относительно х и у в общем виде

Ax + By + C = 0, (7)

где А, В, С — произвольные числа, причем А и В не равны нулю одно­временно.