Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Вычисление двойных интегралов Интегрирование по прямоугольнику.

Рассмотрим прямоугольник D=[a,b]´[c,d]={(x,y)|a £ x £ b, c £ y £ d }.

Теорема. Если f интегрируема на D и для "x существует =J(x), то существует и  и выполнено равенство

==.

Доказательство. Для заданных разбиений Dx={a=x0<…<xn=b}, Dy={c=y0<…<ym=d} рассмотрим разбиение D ={ Dij} области D, где Dij=[xi,xi+1]´ [yj, yj+1], введем обозначения mij=, Mij=, X={(xi, hj)}, xiÎ[xi, xi+1], hjÎ[yj, yj+1], Dxi=xi+1 – xi, Dyj=yj+1-yj . Тогда будут выполнены неравенства

mij £ f(x,y) £ Mij для (x,y)ÎDij (1) Вычисление двойных и тройных интегралов

mij Dyj £  £ Mij Dyj (2)

 £  £  (3)

Умножая неравенства (3) на Dxi и суммируя, получим

mij Dxi Dyj £ Dxi £ Mij Dxi Dyj .

При l(D)®0 суммы слева и справа (суммы Дарбу) будут сходиться к интегралу , средняя сумма представляет собой интегральную сумму для интеграла , откуда и следует требуемое утверждение.

Замечание. Аналогичное утверждение получается, если поменять местами x,y.

Если f интегрируема на D и для "y существует =I(y), то существует и  и выполнено равенство

==.

Следствие (перемена порядка интегрирования). Если f интегрируема на D и для "y существует =I(y), "x существует =J(x), то существуют,  и выполнено равенство

==.

 

Изумительно быстро продвинулся в области науки талантливый советский математик Лев Генрихович Шнирельман, родившийся в Белоруссии (Гомель). Еще в школьные годы он обнаружил яркий талант математика. В 12 лет он довольно глубоко изучил теорию алгебраических уравнений и с помощью ее решал весьма трудные задачи алгебры

Выпуклость функции