Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

 

  Интегралы, зависящие от параметра

Бета функция Эйлера В(p,q) = , p > 0 , q >0 .

Сделаем замену  , dx = .

В(p,q) = =.

В(p,q) =   (2)

Некоторые свойства функций Эйлера

Из формулы (1) следует, что

, . Интегрируя, получим  . Откуда, используя (2)

Г В(p,q) = Г  Г .

В(p,1-p) = Г  Г ==.

 

Г(1) = 1, Г(p+1) = p Г(p).

Отметим, что из этой формулы следует, что Гамма функцию достаточно знать на интервале (0, 1/2).

Интеграл  сходится равномерно на любом [e , A ], 0 < e < A. Поэтому интеграл можно дифференцировать по параметру. Рассмотрим интеграл .

В окрестности нуля |ln x| £ для e > 0 существует C1(e).

В окрестности бесконечности |ln x| £ для e > 0 существует C2(e).

Интеграл Г(k)(p)=  сходится равномерно на любом компакте. Это следует из оценок £+ , pÎ[e , A]. Здесь для степеней логарифма справедливы оценки:

В окрестности нуля интеграл  сходится при 0<a<1, действительно т. к. xb-alnkx = .

В окрестности бесконечности  сходится, действительно

xA-1|ln k x| £ C xA т. к.   и кроме того .

 

Опираясь на факты, известные науке, академик О. Ю. Шмидт в 1944 году выдвинул свою научную гипотезу о происхождении Земли и других планет солнечной системы. По этой гипотезе, Земля и другие планеты возникли не семь с половиной тысяч лет назад, как учит библия, а гораздо раньше, пять или шесть миллиардов лет тому назад

Выпуклость функции