Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора


Выражение операций теории поля в криволинейных координатах

Введение.

В дальнейшем будут использоваться следующие обозначения. С исходной декартовой системой координат xyz ( или x1x2x3 ) связана криволинейная система координат x1x2x3 отображением

  или

Обозначим

ri = .

Выражениеградиента в криволинейных координатах

Для скалярного поля u градиент в декартовой системе координат равен

grad u = . По формуле дифференцирования сложной функции

  =(grad u , ri ) = ui . По формулам Гиббса

grad u = (grad u , ri ) ri =ui ri .

Откуда

grad u = ui ri = ui  = ui .

Выражение дивергенции в криволинейных координатах

Отметим, что для взаимно обратных отображений

 и  согласно правилам дифференцирования сложных функций справедливы соотношения  или в матричном виде

== .

Таким образом, вектора  являются сопряженными к

ri = , т. е. rj =, ei =  .

Обозначим V = Pi +Qj + Rk , Vi == , тогда

div V = =++=

= +

+ +

+  = (V1,r1)+(V2,r2)+(V3,r3) = (Vk,rk) =

=.

В ряде случаев приходится рассматривать разложение исходного поля V по базису ek : V = ek Ak . В этом случае предварительно вычисляют производные Vk и полученные выражения подставляют в формулу для данной операции, например, в формулу div V =. Можно показать, что div V = .

 

 

 

Несмотря на большую перегрузку административной и общественной работой, Шмидт никогда не бросал научных исследований по математике. Математикой он не прекращал заниматься и в те памятные дни, когда был в знаменитых арктических экспедициях. Так, находясь на борту легендарного «Челюскина», прокладывавшего нелегкий путь через льды Арктики, Шмидт телеграфировал московским математикам

Выпуклость функции