Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора


  Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты

Преобразование координат

Даны базисы ei ,  и ei , i . Обозначим матрицы связывающие эти базисы ,,,.

i = ej  , ei = j  Þ =  (5)

Равенство =  в развернутом виде выглядит следующим образом

=,

Таким образом, если придерживаться правила порядка написания индексов суммирования: «левый внизу, правый вверху», то для матриц верхний индекс указывает номер строки, а нижний – номер столбца.

j = ei , ej = Þ =  (6)

Последнее равенство в матричном виде:

=.

Умножая первое равенство из (5) на ek , а второе равенство из (6) на k получим выражения для матриц перехода между базисами

(i , ek) = , (ej , k ) = Þ (i , ek ) = .

Таким образом, = . Аналогично показывается, что = . Равенства (5), (6) перепишутся в виде

i = ej  , ei = j  (7)

j = ei , ej = i (8)

Равенства (7), (8) в развернутом виде:

=,

=

(7)

=,

=

(8)

 

Выпишем формулы преобразования координат при переходе к другому базису, например, для контравариантных координат.

Имеем x = i  i = ei x i или x==. Подставляя во второе равенство ei из (7) получим

x = j  x i , откуда j j = j xi и j = xi.

Аналогично из равенств  , ek = I получаем   откуда . Таким образом,

=, =.

Полученные формулы j = xi ,  позволяют сформулировать правило: координаты векторов при переходе к новому базису преобразуются по тем же законам, что и вектора сопряженного базиса.

 

 

Несмотря на большую перегрузку административной и общественной работой, Шмидт никогда не бросал научных исследований по математике. Математикой он не прекращал заниматься и в те памятные дни, когда был в знаменитых арктических экспедициях. Так, находясь на борту легендарного «Челюскина», прокладывавшего нелегкий путь через льды Арктики, Шмидт телеграфировал московским математикам

Выпуклость функции