Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

 

Формула Остроградского Гаусса

Определение. Объемно односвязной областью называется область D, удовлетворяющая следующему свойству. Любая замкнутая, кусочно гладкая, не самопересекающаяся поверхность, расположенная в D , является границей области целиком лежащей в D. Можно сказать, что внутри области нет полостей.

  Рассмотрим объемно односвязную область W и функцию R , определенную в этой области и имеющую там непрерывную производную  . Границу этой области, ориентированную положительно, обозначим W .

Тогда справедлива формула Остроградского Гаусса

= .

При доказательстве этого равенства будем предполагать, что область W выпукла по z ( любая вертикаль пересекает W по отрезку или по пустому множеству). В этом случае область W можно описать, как геометрическое место точек следующего вида:

W = {(x,y,z):zÎ[z1(x,y),z2(x,y)] для любых (x,y)ÎD},

где z1(x,y),z2(x,y) – две непрерывные функции, определенные на D. В этом случае

  = ==

+=.

Делая циклические перестановки переменных x®z®y, y®x®z, z®y®x

  можно получить еще две формулы для поверхностей выпуклых по другим осям.

= ,=  .

Если область W удовлетворяет всем трем условиям одновременно и в области задано поле V=(P,Q,R) c непрерывными частными производными па соответствующим переменным, то эти три формулы можно собрать в одну

= .

Дивергенция векторного поля определяется по формуле div V = .

 Тогда, используя векторные обозначения формулу Остроградского Гаусса можно записать в виде

div V dW = (V,dS).

Формула Остроградского Гаусса будет верна и для областей допускающих разбиение на конечное число областей указанного типа.

 

 

Шмидт является одним из первых Героев Советского Союза. Несколько лет был вице-президентом Академии наук СССР, начальником Главсевморпути, одним из организаторов и главным редактором Большой Советской Энциклопедии и т. д. Шмидт был депутатом Верховного Совета СССР первого созыва

Выпуклость функции