header ("Last-Modified: ".gmdate("D, d M Y H:i:s")." GMT +0200"); ?>
Криволинейные интегралы
Условия независимости интеграла второго рода от пути интегрирования.
Определение. Область называется односвязной, если ее граница представляет собой связное множество. Область называется n-связной, если ее граница распадается на n- связных множеств.
Замечание. Формула Грина верна и для многосвязных областей.
До конца этого пункта будем считать, что область D - открытое и односвязное множество, а функции P(x,y), Q(x,y) непрерывны в замыкании D вместе со своими производными
,
.
Лемма. Для того, чтобы интеграл
(4)
( A, B – любые точки из D ) не зависел от пути интегрирования ( а только от начальной и конечной точек A, B ) необходимо и достаточно, чтобы по любой замкнутой кривой (по любому контуру) лежащей в D интеграл (4) был равен нулю
=0.
Доказательство (необходимость). Пусть (4) не зависит от пути интегрирования. Рассмотрим произвольный контур C, лежащий в области D и выберем две произвольные точки A, B на этом контуре. Тогда кривую C можно представить, как объединение двух кривых AB=G2 , AB=G1 , C=
+ G2 .
По условию
=
, кроме того
=
, поэтому
=
+
=
-
=0. Для доказательства достаточности рассмотрим две точки A, B в области D и два пути AB=G2 , AB=G1 соединяющие эти две точки. Рассмотрим контур C=
+ G2 . По условию
=0 , откуда, с учетом соотношения
=
+
=
-
, следует требуемое равенство
=
.
Теорема 1. Для того, чтобы криволинейный интеграл (4) не зависел от пути интегрирования в D, необходимо и достаточно чтобы
в области D. (5)
Достаточность. Если (5) выполнено, то формуле Грина для любого контура C будет
=0,
откуда по лемме следует требуемое утверждение.
Необходимость. По лемме для любого контура
= 0. Тогда по формуле Грина для области D , ограниченной этим контуром
=0. По теореме о среднем 0=
=mD
или
=
=0. Переходя к пределу, стягивая контур к точке, получим, что в этой точке
.
Теорема 2. Для того, чтобы криволинейный интеграл (4) не зависел от пути интегрирования в D, необходимо и достаточно чтобы подинтегральное выражение Pdx+Qdy являлось полным дифференциалом некоторой функции u в области D
du = Pdx+Qdy (6)
Достаточность. Пусть (6) выполнено, тогда
,
,
.
Необходимость. Пусть интеграл не зависит от пути интегрирования. Фиксируем некоторую точку A0 в области D и определим функцию
u(A) = u(x,y)=
.
В этом случае
, xÎ[x,x+Dx] (xÎ[x+Dx,x]). Таким образом, существует производная
=P. Аналогично, проверяется, что
=Q. При сделанных предположениях функция u оказывается непрерывно - дифференцируемой и du = Pdx+Qdy.
Замечание 1. Условие односвязности области D в сформулированных теоремах существенно.
Замечание 2. При доказательстве теоремы 2 была построена функция u(x,y)=
. Эта функция определяется с точностью до аддитивной постоянной и называется потенциалом (скалярным) векторного поля (P,Q).
Как ученый, он чрезвычайно разносторонен — математик и астроном, геофизик и географ. Как астроном, он прославился выдвинутой им гипотезой о происхождении Земли и других планет. Как географ, он проделал огромную работу по освоению советской Арктики.
Выпуклость функции |