Условия независимости интеграла второго рода от пути интегрирования.
Определение. Область называется односвязной, если ее граница представляет собой связное множество. Область называется n-связной, если ее граница распадается на n- связных множеств.
Замечание. Формула Грина верна и для многосвязных областей.
До конца
этого пункта будем считать, что область D - открытое и односвязное множество,
а функции P(x,y), Q(x,y) непрерывны в замыкании D вместе со своими производными
, 
.
Лемма. Для того, чтобы интеграл
(4)
( A, B – любые точки из D ) не зависел от пути интегрирования ( а только от начальной и конечной точек A, B ) необходимо и достаточно, чтобы по любой замкнутой кривой (по любому контуру) лежащей в D интеграл (4) был равен нулю
=0.
Доказательство
(необходимость). Пусть (4) не зависит от пути интегрирования. Рассмотрим произвольный
контур C, лежащий в области D и выберем две произвольные точки A, B на этом контуре.
Тогда кривую C можно представить, как объединение двух кривых AB=G2
, AB=G1 , C=
+ G2 .
По
условию 
=
, кроме того
=
, поэтому 
=+=-=0. Для доказательства
достаточности рассмотрим две точки A, B в области D и два пути AB=G2
, AB=G1 соединяющие эти две точки. Рассмотрим контур C= + G2 .
По условию =0 , откуда, с учетом
соотношения =+=-, следует требуемое равенство =.
Теорема 1. Для того, чтобы криволинейный интеграл (4) не зависел от пути интегрирования в D, необходимо и достаточно чтобы
в
области D. (5)
Достаточность. Если (5) выполнено, то формуле Грина для любого контура C будет
=0,
откуда по лемме следует требуемое утверждение.
Необходимость. По
лемме для любого контура = 0. Тогда по формуле Грина для области D , ограниченной этим контуром 
=0. По теореме о среднем 0==mD 
или =
=0. Переходя
к пределу, стягивая контур к точке, получим, что в этой точке 
.
Теорема 2. Для того, чтобы криволинейный интеграл (4) не зависел от пути интегрирования в D, необходимо и достаточно чтобы подинтегральное выражение Pdx+Qdy являлось полным дифференциалом некоторой функции u в области D
du = Pdx+Qdy (6)
Достаточность. Пусть (6) выполнено, тогда 
, 
, 
.
Необходимость. Пусть интеграл не зависит от пути интегрирования. Фиксируем некоторую точку A0 в области D и определим функцию
u(A) = u(x,y)=
.
В этом случае
,
xÎ[x,x+Dx] (xÎ[x+Dx,x]).
Таким образом, существует производная 
=P. Аналогично, проверяется, что 
=Q. При сделанных предположениях функция u оказывается
непрерывно - дифференцируемой и du = Pdx+Qdy.
Замечание 1. Условие односвязности области D в сформулированных теоремах существенно.
Замечание
2. При доказательстве теоремы 2 была построена функция u(x,y)= .
Эта функция определяется с точностью до аддитивной постоянной и называется потенциалом
(скалярным) векторного поля (P,Q).