Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Кратные интегралы

Замена переменных в тройном и n-кратном интеграле

Пусть задано взаимно-однозначное, непрерывно - дифференцируемое отображение

, (x, h, z )Î D

из D в V, где области D и V кубируемы. Тогда объема области V справедлива формула

m V =  (4).

Из этой формулы и теоремы о среднем следует, что

=m V = =m D.

Откуда следует, что в любой точке области M0=(x0 ,h0 ,z0 )

=.

Теорема ( о замене переменных ). Если f интегрируема в V, то

= .

Доказательство. Интегралы справа и слева существуют. Выберем какое-либо разбиение {Dj} области D и обозначим через {Vj} соответствующее разбиение области V. Согласно формуле (4)

m Vj = =m Dj.

Полученные таким образом точки Mj = (xj , hj , zj ) будем рассматривать как промежуточные точки для интегральных сумм для разбиения {Dj}, а соответствующие точки Pj = (xj , yj , zj ) для интегральных сумм для разбиения {Vj}. В этом случае

.

Из этого равенства следует требуемое утверждение.

 

В первой половине XVIII века петербургский академик Гольдбах в письме к своему другу, петербургскому академику Эйлеру, высказал следующее предложение, носящее название проблемы Гольдбаха: доказать, что всякое нечетное число, больше пяти, можно представить в виде суммы трех простых чисел

Выпуклость функции