Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Замена переменных в двойном интеграле

Отображение плоских областей. Криволинейные координаты.

Рассмотрим два экземпляра плоскости, плоскость переменных x, y и область D в этой плоскости, плоскость переменных x, h и область S в этой плоскости (см. ch1_7_1.swf). Пусть имеется взаимно однозначное отображение D на S

 (1),

(2).

Будем предполагать, что отображения (1), (2) непрерывно дифференцируемы и якобианы этих отображений

¹0, ¹0.

Отметим, что

=1.

В области S рассмотрим некоторую кусочно гладкую кривую

tÎ[a,b].

Ее образ имеет параметризацию

tÎ[a,b]

и будет также кусочно гладкой кривой. Действительно,

  (3).

Если (x¢,h¢)¹(0,0), то и (x¢,y¢)¹(0,0). Если предположить противное, то система (3) с не вырожденной матрицей коэффициентов должна будет иметь только тривиальное решение, что противоречит условию (x¢,h¢)¹(0,0).

Определение. Кривая, составленная из точек области D вида

  или

называется координатной линией (см. ch1_7_12.swf). Неявное задание этой линии имеет вид h(x,y)=h0 (x(x,y)=x0).

Определение. Числа x0 , h0 из области S плоскости (x , h) определяющие положение точки (x0 ,y0) из области D плоскости (x ,y) называются криволинейными координатами точки (x0 ,y0). Наоборот, на (x0 ,y0) можно смотреть, как на криволинейные координаты точки (x0 , h0).

Фиксируя значения x или h на плоскости (x ,h) можно получить два семейства координатных линий. При сделанных предположениях две линии одного семейства не пересекаются между собой и через любую точку области D проходит по одной линии из каждого семейства (см. ch1_7_13.swf).

 

Изумительно быстро продвинулся в области науки талантливый советский математик Лев Генрихович Шнирельман, родившийся в Белоруссии (Гомель). Еще в школьные годы он обнаружил яркий талант математика. В 12 лет он довольно глубоко изучил теорию алгебраических уравнений и с помощью ее решал весьма трудные задачи алгебры

Выпуклость функции