Интегральное исчисление

Интегрирование дифференциальных биномов m, n, p – рациональные числа.

Сделаем замену x=, xm(a+bxn)pdx=. Таким образом, задача свелась к интегрированию биномов вида. Интегралы можно вычислить в следующих трех случаях:

а) p – целое (a+bt)p tq=R( t, tq )

б) q – целое (a+bt)p tq=R( t, (a+bt)p )

в) p+q – целое (a+bt)p tq= Геометрические приложения криволинейных интегралов Тройные и двойные интегралы при решении задач

4. Интегрирование некоторых классов трансцендентных функций

a) sin x, cos x ) dx

Универсальная тригонометрическая подстановка , x=2 arctg t,

sin x =, cos x = . Нередко к цели быстрее ведут подстановки t=sin x, t=cos x, t = tg x.

б) sinmx cosnx dx, m и n – рациональные.

Замена t = sin x ( или t = cos x ), cos x = , dt =dx, тогда

sinmx cosnx dx = .

с) Интегралы видаcos bx dx, sin bx dx,  arccos bx dx, ,

 arcsin bx dx,  arctg bx dx,  arcctg bx dx, ln x dx вычисляются методом интегрирования по частям.

Как и следовало ожидать, успехи молодого талантливого математика были скоро замечены. Профессор Д. А. Граве, создавший в России первую алгебраическую школу, привлек Отто Шмидта к работе своего семинара и стал руководить его научными исследованиями