Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

 Интегральное исчисление

Разложение рациональной функции на простейшие дроби и их интегрирование

Разложение дроби на элементарные

Лемма 1. Пусть правильная дробь и a – вещественный корень многочлена Q(x), т.е. Q(x)=(x-a)aQ1(x), Q1(a)¹0,a³1. Тогда существует A и многочлен P1(x) такие, что

 ,

где - правильная дробь.

Доказательство:  Рассмотрим разность (A - некоторое, пока неопределенное число)

.

Дробь справа правильная, так как порядок P(x) и AQ1(x) меньше порядка знаменателя. Положим , тогда для числителя число a будет корнем P-AQ1=(x-a)P1(x), что и требовалось доказать.

Лемма 2. Пусть правильная дробь и w=u+iv (v¹0) – комплексный корень многочлена Q(x), т.е. Q(x)=(x2+px+q)bQ1(x), Q1(w)¹0,b ³1. Тогда существуют вещественные числа M, N и многочлен P1(x) с вещественными коэффициентами  такие, что

 ,

где - правильная дробь.

Теорема. Пусть P(x)/Q(x) – правильная дробь, P, Q – многочлены с вещественными коэффициентами, старший коэффициент Q равен 1 и

разложение многочлена по парно простым корням

a1,a2,…,ar,w1,w2,…,ws, (x-wk)(x-)=x2+pkx+qk

кратностей a1,…,ar,b1,…,bs . Тогда существуют вещественные числа такие, что справедлива формула

=+…+++…+ (*)

Доказательство. По лемме 1

=++…++.

В последнем слагаемом знаменатель имеет только комплексные корни и к нему применяется лемма 2. В результате, появляется последняя серия слагаемых, соответствующих комплексным корням.

Определение. Дроби вида

называются элементарными.

Доказанная теорема утверждает, что всякая правильная дробь может быть разложена на элементарные дроби.

Как и следовало ожидать, успехи молодого талантливого математика были скоро замечены. Профессор Д. А. Граве, создавший в России первую алгебраическую школу, привлек Отто Шмидта к работе своего семинара и стал руководить его научными исследованиями

Выпуклость функции