n – мерное евклидово пространство Основные определения

Теорема Больцано-Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Дана ограниченная последовательность {xk}={(} точек из Rn. Последовательности координат будут ограниченными ( это следует из неравенств типа (4*)) . Из последовательности первых координат {} выберем сходящуюся подпоследовательность {}. Последовательность {} ограничена и из нее так же можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Продолжая таким образом дальше получим:

{} ограничена Þ {} сходится

{} ограничена Þ {} сходится

…

{} ограничена Þ {} сходится.

В результате n – шагов будет построена подпоследовательность номеров натуральных чисел {sk} , такая, что сходящимися будут все подпоследовательности координат по этим номерам. ® x1, ® x2,…, ® xn или ® x.

Ему по душе пришлась логическая сторона математики. В особенности своей логической стороной поражала геометрия. Цепь логических умозаключений пронизывает эту книгу от самого основания до головокружительных высот. Сколько можно вывести новых интересных теорем! Счету нет! И всему этому мы обязаны нашим рассуждениям, нашей логике.