Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

n – мерное евклидово пространство Основные определения

Геометрическая терминология в Rn.

(n – мерный) открытый шар радиуса e c центром в точке x0 или e окрестность точки x0 : Ue(x0)={ xÎRn:r(x,x0)<e }.

(n – мерный) замкнутый шар радиуса e c центром в точке x0 : e(x0)={ xÎRn:r(x,x0)£e }.

(n – мерная) сфера радиуса e c центром в точке x0 : Se(x0)={ xÎRn:r(x,x0)= e }.

В пространстве Rn(n>1) под окрестностью ¥ понимается любое множество вида {xÎRn:r(x,x0)>r}, для произвольного числа r, и произвольной точки x0.

(n – мерный) параллелепипед : B=[a1,b1]´ [a2,b2]´´ [an,bn].

Проколотая окрестность точки: ={ xÎRn:0<r(x,x0)<e }.

Внутренняя точка множества – точка, которая принадлежит множеству вместе с некоторой своей окрестностью.

Открытое множество – множество, все точки которого внутренние.

Предельная точка множества – точка, в любой окрестности которой содержится хотя бы одна точка множества, отличная от нее самой (или, что тоже, в любой окрестности этой точки содержится бесконечно много точек из данного множества).

Замкнутое множество – множество, содержащее все свои предельные точки.

Пример. Для e(x0) множество внутренних точек совпадает с Ue(x0). e(x0) – замкнутое множество. Ue(x0) – открытое множество.

Замыкание множества – само множество плюс все его предельные точки. Обозначается чертой сверху.

Ограниченное множество – множество, содержащееся в некотором шаре.

Компакт – замкнутое, ограниченное множество.

Диагональ множества M – величина, определяемая равенством d(M)=.

Сходимость в метрическом пространстве. Последовательность

{xk}={(} называется сходящейся, если существует точка x такая, что . При этом пишут xk ® x.( уметь формулировать на языке e - N)

Фундаментальная последовательность. Последовательность {xk} называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:

"e>0 $M "m>M "p:r(xm+p,xm)<e (3)

Из определения расстояния следуют неравенства

 (4)

Неравенства (4) позволяют установить

Теорема 1. Последовательность {xk} фундаментальна тогда и только тогда, когда фундаментальны последовательностей ее координат  , j=1,2,…,n.

Неравенства аналогичные (4) можно выписать и для сходящейся последовательности xk® x. Именно

 (4*)

Неравенства (4*) позволяют установить

Теорема 2. Последовательность {xk} сходится к x тогда и только тогда, когда последовательности ее координат  , j=1,2,…,n сходятся  ® xj , j=1,2,…,n.

Следствие (Критерий Коши сходимости последовательности). Для сходимости последовательности  необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

Теорема 3. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть xk® x . Для e = 1 $ M "m > M : r(xm,x) < 1. Тогда для "k :r(xk,x) £ max [1,].

Лемма (О стягивающихся к нулю вложенных параллелепипедах). Для последовательности вложенных параллелепипедов, диагональ которых ® 0, существует единственная общая точка.

Доказательство. Для n = 2. Дана система вложенных прямоугольников {Bk}={[ak,bk]´ [ck,dk]}, Bk+1 Ì Bk , d(Bk)®0. Рассмотреть системы вложенных отрезков для каждой из координат.

[a1,b1]É [a2,b2]ÉÉ [ak,bk] É…, bk – ak ® 0 Þ $x общая для всех [ak,bk].

  [с1,d1]É [c2,d2]ÉÉ [ck,dk] É…, dk –ck ® 0 Þ $h общая для всех [ck,dk].

Точка (x,h) - искомая.

 

Ему по душе пришлась логическая сторона математики. В особенности своей логической стороной поражала геометрия. Цепь логических умозаключений пронизывает эту книгу от самого основания до головокружительных высот. Сколько можно вывести новых интересных теорем! Счету нет! И всему этому мы обязаны нашим рассуждениям, нашей логике.

Выпуклость функции