Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

n – мерное евклидово пространство Основные определения

Неравенство Коши-Буняковского

.

Величина  - называется скалярным произведением и обозначается (x,y). Величина  называется нормой и обозначается ||x||.

Используя это обозначение неравенство Коши-Буняковского можно записать в виде.

|(x,y)|£||x|| ||y||.

В пространстве R2 введем операции сложения между элементами этого множества и операцию умножения на вещественные числа по правилам: Геометрические приложения криволинейных интегралов Найти площадь области, ограниченной гиперболой , осью Ox и вертикальными прямыми x = 1, x = 2

x + y =(x1+ y1,x2+ y2,…,xn+ yn),

l x = (lx1, lx2,…, lxn), где x = (x1,x2,…,xn), y = (y1,y2,…,yn). (2)

Доказательство неравенства Коши-Буняковского.

0 £ ||x+ly||2==

||x||2+2l(x,y)+l2||y||2=al2+2lb+c.

Так как это неравенство (al2+2lb+c ³ 0) справедливо для всех l , то для дискриминанта квадратного трехчлена будет выполнено неравенство b2 – ac £ 0, или (x,y)2£ ||y||2 ||x||2, откуда и следует требуемое утверждение.

Теорема. Для нормы справедливо неравенство ||x+y|| £ ||x|| + ||y||.

Доказательство.||x+y||2 = £

£ ||x||2+2 ||x|| ||y||+ ||y||2=(||x||+||y||)2.

Свойства нормы.

||x||³0, ||x||=0Û x=0 (x= (0,0,…,0))

||lx|| = |l| ||x||

||x+y||£ ||x||+||y||.

Свойства скалярного произведения.

(x,x)³0, (x,x)=0Û x=0 (x= (0,0,…,0))

(x,y)=(y,x)

(lx,y)=l(x,y)

(x+y,z)=(x,z)+(y,z).

Определение. Пространство Rn со скалярным произведением (x,y) будем называть евклидовым пространством.

Отметим, что между введенными понятиями, расстоянием, нормой и скалярным произведением имеются следующие равенства: r(x,y)=||x - y||, (x,x)=||x||2.

Доказательство неравенства треугольника для расстояния. r(x,y)=||x-y||=||x-z+z-y||£||x-z||+||z-y||=r(x,z)+ r(z,y).

 

Ему по душе пришлась логическая сторона математики. В особенности своей логической стороной поражала геометрия. Цепь логических умозаключений пронизывает эту книгу от самого основания до головокружительных высот. Сколько можно вывести новых интересных теорем! Счету нет! И всему этому мы обязаны нашим рассуждениям, нашей логике.

Выпуклость функции