Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

 Интегральное исчисление

Разложение рациональной функции на простейшие дроби и их интегрирование

Предварительные сведения из алгебры

а) Если a вещественный корень многочлена , то существует единственное представление многочлена в виде

P(x) = (x – a)a P1(x), a³1, P1(a)¹0.

Число a называется кратностью корня. Другое эквивалентное определение кратности корня дается через производную. a – это порядок первой, не равной нулю производной в точке a: P(a)= P¢(a)=…= P(a-1)(a)=0, P(a)(a)¹0.

б) Если w = u + i v, v¹0 комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное комплексное число= u - i v также является корнем многочлена. Тогда существует единственное представление многочлена в виде

P(x) = (x2+px+q)b P1(x), b³1, P1(w)¹0, Курсовые задания Применение интегралов

(x - w)(x - )=(x - u - i v)(x - u + i v)= x2+px+q.

в) Любой многочлен можно разложить в произведение по своим корням

,

где a1,a2,…-действительные корни кратностей a1,a2,… в количестве m штук, а w1,w2,… комплексные корни кратностей b1,b2,…. Связь между корнями и сомножителями в разложении многочлена следующая x2+pkx+qk=(x - wk)(x - k).

Определение. Рациональная функция ( отношение двух многочленов)  называется правильной дробью, если порядок многочлена числителя строго меньше порядка многочлена в знаменателе.

Утверждение. Любую рациональную функцию можно представить в виде многочлена (целая часть) плюс правильная дробь. Метод итераций

, - R(x) – многочлен, дробь - правильная.

Как и следовало ожидать, успехи молодого талантливого математика были скоро замечены. Профессор Д. А. Граве, создавший в России первую алгебраическую школу, привлек Отто Шмидта к работе своего семинара и стал руководить его научными исследованиями

Выпуклость функции