Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Несобственные интегралы

Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла. Признаки сравнения.

Определение.

Несобственный интеграл  ()называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл  ()..

Критерий Коши абсолютной сходимости. Для абсолютной сходимости  необходимо и достаточно выполнение условия

"e>0$M:"R¢,R¢¢, R¢>M,R¢¢>M: ||<e.

Для абсолютной сходимости  необходимо и достаточно выполнение условия

"e>0$d:"x¢,x¢¢, b-d<x¢,x¢¢<b: ||<e. Функциональные ряды Примеры решения задач математика

Замечание. Абсолютно сходящийся интеграл сходится (см. Критерий Коши). Обратное, вообще говоря, неверно.

Пример. ,сходятся абсолютно.

=-сходится.

 ,сходится, откуда следует, что интеграл  расходится.

Определение. Несобственный интеграл  ( или  ) называются условно сходящимся, если ( ) сходится, а интеграл ( )расходится.

Пример. Интеграл  сходится условно.

Теорема (Признак Абеля). Пусть f и g определены на [a,+¥). f(x) интегрируема на [a,+¥), g(x) монотонна и ограничена, тогда

сходится.

Доказательство. По второй теореме о среднем

.

 

Теорема (Признак Дирихле). Пусть f и g определены на [a,+¥).

1)  f(x) непрерывна и имеет ограниченную первообразную

£ K, для "A³a,

2) g(x) монотонна и стремится к 0 при x®¥,

 тогда

сходится.

Доказательство. По второй теореме о среднем

Пример. ,a>0, сходится, f(x) = sin x, g(x)=.

Теорема (Признак абсолютной сходимости, основанный на сравнении подинтегральных функций)

Если |f(x)|£g(x), xÎ[a,+¥) (или xÎ[a,b]), то из сходимости интеграла  следует абсолютная сходимость интеграла . Из условной сходимости интеграла   следует расходимость интеграла .

 

 

Ему по душе пришлась логическая сторона математики. В особенности своей логической стороной поражала геометрия. Цепь логических умозаключений пронизывает эту книгу от самого основания до головокружительных высот. Сколько можно вывести новых интересных теорем! Счету нет! И всему этому мы обязаны нашим рассуждениям, нашей логике.

Выпуклость функции