Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции Пензавзгляд- новости дня пенза. дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Несобственные интегралы

Несобственный интеграл второго рода

1.Определение интеграла.

Пусть функция f(x) определена на [a,b) и интегрируема на любом [a,b-e], не ограничена в окрестности точки b.

Символ  называется несобственным интегралом второго рода. Интеграл сходится, если существует конечный предел

=.

Если этот предел существует, то он называется сходящимся, иначе расходящимся. Уравнения в полных дифференциалах.

В рассматриваемом случае, говорят об особенности в точке b.

Аналогично определяется интеграл второго рода для функции с особенностью в точке a.

Пусть функция f(x) определена на (a,b] и интегрируема на любом [a+e,b] , не ограничена в окрестности точки a.

Символ  называется несобственным интегралом второго рода. Интеграл сходится, если существует конечный предел

=.

Если этот предел существует, то он называется сходящимся, иначе расходящимся.

Для случая с особенностью в точке b интегралы ,  сходятся или расходятся одновременно ( a1,a2 любые числа из (a,b) ). Это следует из свойства аддитивности интеграла по множеству.

Рассмотрим теперь случай с особенность во внутренней точке cÎ (a,b) отрезка [a,b].

Пусть f(x) определена на [a,c)È (c,b] , интегрируема на любых [a,с-e] и [c+e,b] , не ограничена в окрестности точки c. Символ  называется несобственным интегралом второго рода. Интеграл сходится, если сходятся оба интеграла , . В этом случае полагают

=+.

В случае расходимости одного или обоих интегралов, интеграл называется расходящимся. Из перечисленных свойств следует свойство аддитивности интеграла второго рода по множеству.

Главным значением интеграла по Коши называется предел

V.P. =.

 

Теорема. Если существует , то V.P. =.

Обратное неверно. Пример. V.P.=0, в то время, как интеграл  расходится.

Пример. Интеграл сходится при p < 1, расходится в противном случае.

Пример. .

 

Ему по душе пришлась логическая сторона математики. В особенности своей логической стороной поражала геометрия. Цепь логических умозаключений пронизывает эту книгу от самого основания до головокружительных высот. Сколько можно вывести новых интересных теорем! Счету нет! И всему этому мы обязаны нашим рассуждениям, нашей логике.

Выпуклость функции