Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Несобственные интегралы

Несобственный интеграл второго рода

1.Определение интеграла.

Пусть функция f(x) определена на [a,b) и интегрируема на любом [a,b-e], не ограничена в окрестности точки b.

Символ  называется несобственным интегралом второго рода. Интеграл сходится, если существует конечный предел

=.

Если этот предел существует, то он называется сходящимся, иначе расходящимся. Уравнения в полных дифференциалах.

В рассматриваемом случае, говорят об особенности в точке b.

Аналогично определяется интеграл второго рода для функции с особенностью в точке a.

Пусть функция f(x) определена на (a,b] и интегрируема на любом [a+e,b] , не ограничена в окрестности точки a.

Символ  называется несобственным интегралом второго рода. Интеграл сходится, если существует конечный предел

=.

Если этот предел существует, то он называется сходящимся, иначе расходящимся.

Для случая с особенностью в точке b интегралы ,  сходятся или расходятся одновременно ( a1,a2 любые числа из (a,b) ). Это следует из свойства аддитивности интеграла по множеству.

Рассмотрим теперь случай с особенность во внутренней точке cÎ (a,b) отрезка [a,b].

Пусть f(x) определена на [a,c)È (c,b] , интегрируема на любых [a,с-e] и [c+e,b] , не ограничена в окрестности точки c. Символ  называется несобственным интегралом второго рода. Интеграл сходится, если сходятся оба интеграла , . В этом случае полагают

=+.

В случае расходимости одного или обоих интегралов, интеграл называется расходящимся. Из перечисленных свойств следует свойство аддитивности интеграла второго рода по множеству.

Главным значением интеграла по Коши называется предел

V.P. =.

 

Теорема. Если существует , то V.P. =.

Обратное неверно. Пример. V.P.=0, в то время, как интеграл  расходится.

Пример. Интеграл сходится при p < 1, расходится в противном случае.

Пример. .

 

Ему по душе пришлась логическая сторона математики. В особенности своей логической стороной поражала геометрия. Цепь логических умозаключений пронизывает эту книгу от самого основания до головокружительных высот. Сколько можно вывести новых интересных теорем! Счету нет! И всему этому мы обязаны нашим рассуждениям, нашей логике.

Выпуклость функции