Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Несобственные интегралы

Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Простейшие признаки сходимости.

Теорема (Критерий Коши). Для сходимости интеграла   необходимо и достаточно, чтобы "e>0$M"R¢,R¢¢:<e.

Эта теорема непосредственно следует из критерия Коши существования конечного предела  ("e>0$M"R¢,R¢¢ >M:|F(R¢¢)-F(R¢)|<e).

Теорема 1 (Простой признак сравнения для несобственного интеграла от неотрицательных функций). Если 0£ f(x) £ g(x) , то

сходится Þ сходится

расходится Þ расходится Функции нескольких переменных

Доказательство. Утверждение непосредственно следует из соотношений

.

Следствие 1. Если f(x)³ 0, g(x)³ 0 и f(x)=O(g(x)), x®¥, то

сходится Þ сходится

расходится Þ расходится .

Следствие 2 (Предельный признак сравнения). Если f(x)³ 0, g(x)> 0 ,, то

если 0<k<+¥, то поведение интегралов , в смысле сходимости эквивалентно.

если k=0, то сходимость Þ сходимость .

если k=¥, то расходимость Þ расходимость .

Доказательство. По определению предела для заданного e для достаточно больших x будут выполнены неравенства

 или

 (1)

В первом случае утверждение следует из доказанной теоремы и неравенств (1), если взять e=k/2. В случае k=0 следует рассмотреть правое неравенство из (1) для какого-нибудь e, например, e=1.

Теорема 2.

Если 0 £ f(x)£ для всех x, 0 < a £ x <+¥ , где c > 0 , p > 1 , то интеграл сходится.

Если f(x)³ для x, 0 < a £ x <+¥ и c > 0, p£ 1 , то интеграл расходится.

Утверждение следует из простого признака сравнения.

Теорема 3 ( Второй предельный признак сравнения). Если существует , (0 < k < +¥), то

при p > 1 интеграл  сходится,

при p £ 1 интеграл расходится.

При k = 0 и p > 1 интеграл сходится, при k = +¥, p £ 1 интеграл расходится.

Утверждение теоремы следует из первого предельного признака сравнения.

Замечание. Аналогичные утверждения (Теоремы 1-3 и следствия имеют место для интегралов вида .

 

Ему по душе пришлась логическая сторона математики. В особенности своей логической стороной поражала геометрия. Цепь логических умозаключений пронизывает эту книгу от самого основания до головокружительных высот. Сколько можно вывести новых интересных теорем! Счету нет! И всему этому мы обязаны нашим рассуждениям, нашей логике.

Выпуклость функции