Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Вычисление объемов и площадей боковых поверхностей тел вращения

Первая теорема Гюльдена.

Предположим, что масса mk расположена на расстоянии yk от оси ox. Статический момент материальной точки массы m относительно оси ox равен yk mk . Статические моменты системы из n точек относительно осей ox, oy равны

Mx=, My= 

Центр тяжести системы – это точка, обладающая следующим свойством: если в эту точку поместить сосредоточенную массу системы, то статический момент этой точки относительно любой оси совпадает со статическим моментом всей системы относительно этой оси. В частности, выпишем равенство статических моментов дискретной системы относительно осей ox, oy. Исследовать поведение функции Математика Примеры решения задач

XM=,YM=, M=

X=, Y= (3)

Если масса распределена вдоль кривой g :x=x(s),y=y(s), параметризованной длиной дуги и имеющей линейную плотность распределения r(s), то соотношения (3) для координат центра тяжести примут интегральный вид

, Y=  (4)

Если положить r(s)=1, то из равенства соотношения получим

2pYl=2p=m(g).

Последнее соотношение означает, что площадь поверхности, полученной вращением кривой вокруг оси с равномерно распределенной массой, равна длине этой кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести этой кривой (первая теорема Гюльдена).

Пример. Пересчитать площадь поверхности тора по теореме Гюльдена.

 

 

Увлекаться математикой Игорь Шафаревич стал не сразу. В школе он занимался с «перебоями». Были случаи, когда по математике получал неудовлетворительные оценки. И не потому, что математика давалась ему трудно. Вовсе нет. Просто до математики у него не доходили руки. Причина была ясна: Игорь Шафаревич увлекался тогда историей

Выпуклость функции