Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Вычисление объемов и площадей боковых поверхностей тел вращения

Объем тела вращения

Теорема. Если f(x)³ 0 непрерывна на [a,b] , то тело, полученное вращением графика функции вокруг оси x кубируемо и его объем равен

  Доказательство. Для заданного e рассмотреть достаточное мелкое разбиение D={a=x0<x1<…<xn=b} и два ступенчатых тела на основании сумм Дарбу исходной функции, составленных из круговых цилиндров высотой xk+1 - xk и радиусов mk=, Mk=. Объем этих тел будут равны s(F,D), S(F,D), F(x)=p f 2(x) . Одна из этих кубируемых областей будет вписана в тело вращения, а другая описана. Разность объемов можно сделать сколь угодно малой, что следует из интегрируемости функции F(x).

Справедлива более общая теорема (без доказательства). Деталирование чертежей Инженерная графика Машиностроительное черчение

Теорема. Если область D проектируется на отрезок [a,b] оси x и любое сечение этой области плоскостью перпендикулярной оси x квадрируемо, а площадь этого сечения S(x) является интегрируемой функцией, то исходная область кубируема и ее объем равен

mD=

(см. рис. 2_11_2.swf)

 

 

Увлекаться математикой Игорь Шафаревич стал не сразу. В школе он занимался с «перебоями». Были случаи, когда по математике получал неудовлетворительные оценки. И не потому, что математика давалась ему трудно. Вовсе нет. Просто до математики у него не доходили руки. Причина была ясна: Игорь Шафаревич увлекался тогда историей

Выпуклость функции