Интегральное исчисление

Два основных метода интегрирования

Замена переменного

Если F(x)– первообразная для f(x) на X т.е. =F(x)+C , x=j(t) дифференцируема на T и определена суперпозиция = F(j(t))+C, тогда функция F(t)=f(j(t))j¢(t) имеет первообразную, равную F(j(t)). Таким образом,

=.

Для доказательства достаточно продифференцировать левую и правую части и убедиться, что получится одна и та же функция. Найдём вторую производную

Примеры:

 cos t dt =  d sin t = + C, x = sin t.

J = , сделаем замену x = t6, тогда

J=6=6=6t – 6 arctg t + C =6-6 arctg +C

Интегрирование по частям

Если u(x), v(x) – дифференцируемы на отрезке X и существует

dv = (x)v¢(x)dx. Тогда существует du и выполняется равенство

du = uv - dv (формула интегрирования по частям)

  Доказательство. Пусть dv = F(x)+C. Тогда функция uv – F будет искомой, что можно проверить дифференцированием.

Пример. Выберем функции: v(x) = ln x, u(x) = x, тогда

x dx =x ln x - =x ln x – x + C.

Как и следовало ожидать, успехи молодого талантливого математика были скоро замечены. Профессор Д. А. Граве, создавший в России первую алгебраическую школу, привлек Отто Шмидта к работе своего семинара и стал руководить его научными исследованиями