Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Площадь плоской области

Площадь криволинейной трапеции.

Пусть f(x)³0 и непрерывна на отрезке [a,b]. Область расположенную между графиком функции , осью x и вертикалями x = a, x = b называется криволинейной трапецией

Теорема. Криволинейная трапеция D квадрируема и ее площадь

.

Доказательство. Пусть e>0. В силу интегрируемости f(x) для этого e существует разбиение отрезка [a,b], D={a=x0<x1<…<xn} такое, что S(f,D) – s(f,D) < e (см. рис. 2_10_32.swf). Прямоугольники, соответствующие нижней сумме Дарбу образуют вписанный в область D многоугольник Pi , прямоугольники, соответствующие верхней сумме Дарбу образуют описанный многоугольник Pe для области D, s(f,D) = m Pi , S(f,D)= m Pe . Отсюда следует квадрируемость области D и требуемое равенство. Неопределенный интеграл.

Замечание. Если f(x)£ 0 и непрерывна на отрезке [a,b], то . Для области D, заключенной между двумя непрерывными кривыми (графиками функций) y=f1(x), y=f2(x), f1(x)£f2(x) на [a,b],  (см. рис. 2_10_33.swf). В более общих случаях для вычисления площади следует разбить область на фигуры указанного вида.

 

Увлекаться математикой Игорь Шафаревич стал не сразу. В школе он занимался с «перебоями». Были случаи, когда по математике получал неудовлетворительные оценки. И не потому, что математика давалась ему трудно. Вовсе нет. Просто до математики у него не доходили руки. Причина была ясна: Игорь Шафаревич увлекался тогда историей

Выпуклость функции