Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Площадь плоской области

Квадрируемые фигуры.

Многоугольником P в этом параграфе называется внутренняя часть области, ограниченной замкнутой не самопересекающейся ломаной L. Для простоты формулировок, объединение конечного числа многоугольников будет также называться многоугольником (см рис. 2_10_0.swf). Сама ломанная L (или ломанные) называется границей многоугольника P и обозначается P. Многоугольник плюс граница обозначается =P+P. Будем предполагать известным понятие площади для многоугольников. Под областью в этом параграфе будем понимать ограниченное множество, для которого существует хотя бы один вписанный многоугольник. Можно ограничиться множествами, определяемыми некоторой одной или несколькими замкнутыми кривыми, ограничивающими это множество.

Определение. Индексом i будем обозначать многоугольники, вписанные в заданную область D, Pi Ì DÈD (D – кривая, ограничивающая область D ). Индексом e будем обозначать описанные многоугольники, Pe É DÈD. Площадь многоугольника P будем обозначать через mP.

Для площади известно свойство монотонности: если PÌQ, то mP £ mQ. Вычислим объем шара Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Определение. Нижней площадью области D назовем величину

mD = sup mPi , по всевозможным вписанным многоугольникам.

Верхней площадью области D назовем величину= inf mPe , по всевозможным описанным многоугольникам. Вычисление длины дуги кривой. Пример. Вычислить длину дуги кривой: , между точками пересечения с осями координат. Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде, то есть x и y зависят от параметра t. Поэтому, чтобы построить точку с координатами (x,y) нужно задать некоторое значение параметра и потом посчитать x и y .

Здесь мы будем рассматривать лишь ограниченные области, для которых множество вписанных многоугольников не пусто.

Лемма. mD £ .

Доказательство. От противного. Пусть £ mD (см. рис. 2_10_1.swf ). Выбираем непересекающиеся окрестности чисел , mD . По определению нижней и верхней площадей найдутся два многоугольника Pi , Pe , один с площадью mPe из выбранной окрестности числа , другой из окрестности числа mD . Согласно выбору окрестностей mPe < mPi , что противоречит свойству монотонности площадей для многоугольников.

Определение. Плоская фигура называется квадрируемой, если = mD. Эта общая величина называется площадью.

Теорема (критерий квадрируемости). Для того, чтобы плоская фигура D была квадрируемой Н. и Д., чтобы "e>0$ Pe , Pi : mPe - mPi <e .

Доказательство. Для любых Pe , Pi из доказанной леммы и из определений нижней и верхней площадей следуют неравенства

mPi £ mD £ £ mPe ,

откуда и следует требуемое утверждение.

Определение. Множество D имеет площадь 0, если его можно покрыть многоугольниками со сколь угодно малой суммарной площадью.

Если область D определена ограничивающей ее замкнутой кривой D, то для квадрируемости D необходимо и достаточно, чтобы ее граница имела площадь = 0.

 

Увлекаться математикой Игорь Шафаревич стал не сразу. В школе он занимался с «перебоями». Были случаи, когда по математике получал неудовлетворительные оценки. И не потому, что математика давалась ему трудно. Вовсе нет. Просто до математики у него не доходили руки. Причина была ясна: Игорь Шафаревич увлекался тогда историей

Выпуклость функции