Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Методы вычисления определенных интегралов

 Замена переменных в определенном интеграле

Теорема 1. Пусть f(x) непрерывна на [a,b], j(t) непрерывна вместе с производной на [a,b], причем j(t)Î[a,b], если tÎ[a,b], j(a)=a, j(b)=b. Тогда

dx = j¢(t) dt (2)

Формула (2) называется формулой замены переменного в определенном интеграле. Функциональные ряды. Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда называются функции

Доказательство. Оба интеграла в (2) существуют. Пусть F(x) первообразная функции f(x) , тогда F(j(t)) существует и является первообразной функции f(j(t))j¢(t). По формуле Ньютона-Лейбница

dx = F(b) – F(a), j¢(t) dt = F(j(b)) – F(j(a)) = F(b) – F(a).

Замечание. Формула (2) иногда записывается в виде

dx = dj (t).

2.Интегрирование по частям.

Теорема 2. Если функции u(x), v(x) непрерывны вместе со своими производными на [a,b], то

dx =  - dx (3)

Доказательство.

= dx = dx = dv + du.

 

Увлекаться математикой Игорь Шафаревич стал не сразу. В школе он занимался с «перебоями». Были случаи, когда по математике получал неудовлетворительные оценки. И не потому, что математика давалась ему трудно. Вовсе нет. Просто до математики у него не доходили руки. Причина была ясна: Игорь Шафаревич увлекался тогда историей

Выпуклость функции