Теоремы о среднем, аддитивность по множеству, неравенство Коши-Буняковского.

Теорема 1. Если m £ f(x) £ M на [a,b], то $ mÎ[m,M] :

dx = m (b – a).

Доказательство.

m(b - a)=m dx £ f(x) dx £ M dx = M(b – a). Откуда

 и m=.

Следствие. Если f непрерывна, то $xÎ[a,b]:

f(x) dx = f(x) (b – a).

Окрыленный успехами Шмидт приступает к написанию своей знаменитой монографии, посвященной некоторым вопросам современной алгебры («Абстрактная теория групп»). О. Ю. Шмидт стал основателем школы советских алгебраистов, прославивших русскую алгебраическую науку на весь мир.