Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Классы интегрируемых функций

 Непрерывные функции.

Теорема 1. Всякая непрерывная на отрезки [a,b] функция интегрируема на этом отрезке.

  Доказательство. Как ранее отмечалось

S(f,D) - s(f,D) =, wk (f) = Mk – mk .

По теореме Кантора для " e > 0 $ d > 0 такое, что при l(D)<d будет выполнено неравенство wk(f)< e / ( b – a ). Тогда

S(f,D) - s(f,D) =<=e .

2.Монотонные ограниченные функции и некоторые другие классы интегрируемых функций.

Теоремы 2. Любая монотонная ограниченная функция является интегрируемой функцией.

  Доказательство. Пусть f монотонно возрастает, тогда

S(f,D) - s(f,D) = = =<l(D)=l(D)(f(b) – f(a)),

откуда и следует интегрируемость с учетом теоремы Дарбу.

Теорема 3. Любая ограниченная функция, имеющая конечное число разрывов интегрируема.

Доказательство. Пусть функция f(x) ограничена на [a,b], |f(x)| £ M и имеет p  точек разрыва {uk} . Для упрощения доказательства будем предполагать, что все точки разрыва внутренние. Пусть e > 0 , рассмотрим непересекающиеся окрестности точек разрыва {( uk - g, uk +g )} с суммарной длиной 2g p < e , будем также предполагать, что все эти окрестности лежат в интервале (a,b). Функция f равномерно непрерывна на дополнении D = [a,b]\, поэтому существует d > 0 такое, что |f(x¢¢)-f(x¢)|<e при | x¢¢ - x¢ |< d , x¢¢, x¢ Î D . Представим S – s в виде трех сумм

S – s = S wk(f) D xk =S¢ + S¢¢ + S¢¢¢ .

Через S¢ обозначена часть суммы S wk(f) D xk , для которой [xk,xk+1]ÌD.

Через S¢¢ - часть суммы S wk(f) D xk , для которой [xk,xk+1]Ì .

Через S¢¢¢ обозначена часть суммы S wk(f) D xk , содержащая остальные слагаемые. Имеем

S¢ £ S¢ e D xk = (b – a) e , S¢¢ £ S¢¢ 2M D xk = 2M S¢¢ D xk < 2M e ,

S¢¢¢ £ S¢¢¢ 2M D xk = 2M S¢¢ D xk < 2M 2p e. Таким образом, для разбиения выбранной мелкости справедливо неравенство

S – s < (b – a +2M +4Mp ) e. По теореме Дарбу функция интегрируема.

Теорема 4. Ограниченная, имеющая счетное число разрывов функция интегрируема.

Без доказательства.

 

Окрыленный успехами Шмидт приступает к написанию своей знаменитой монографии, посвященной некоторым вопросам современной алгебры («Абстрактная теория групп»). О. Ю. Шмидт стал основателем школы советских алгебраистов, прославивших русскую алгебраическую науку на весь мир.

Выпуклость функции