Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Критерий интегрируемости. Теорема Дарбу.

Теорема Дарбу. Для того, чтобы ограниченная функция была интегрируемой на отрезке [a,b], необходимо и достаточно, чтобы разность сумм Дарбу

S(f,D) - s(f,D) ® 0 при l(D)®0.

Т. е.

$  Û "e>0$d>0"D,l(D)<d: S(f,D) - s(f,D)<e.

Доказательство. Необходимость. Пусть f(x) интегрируема и J=. Возьмем какое-либо e>0 для него $d>0 такое, что при l(D)<d будет выполнено неравенство

|J - s(f,D,x)|<e/3 ( независимо от выбора xÎD ).

так как s(f,D) = s( f,D,x), S(f,D) = s( f,D,x), то

  |S(f,D) - J|< e /3, |J - s(f,D)|< e /3

тогда

  |S(f,D) - s(f,D)|=|S(f,D) - J + J - s(f,D)| £ |S(f,D) - J| +| J - s(f,D)| £ 2e /3<e .

Достаточность. Разность сумм Дарбу может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения. Как уже отмечалось, нижний и верхний интегралы существуют и

s(f,D) £ *£ £ S(f,D), = sup s(f,D), = inf S(f,D).

Так как  (S(f,D) - s(f,D)) = 0 , то *= . Положим J = *= , при этом |s(f,D,x) – J | £ S(f,D) - s(f,D). Откуда и следует требуемое утверждение.

 

 

Окрыленный успехами Шмидт приступает к написанию своей знаменитой монографии, посвященной некоторым вопросам современной алгебры («Абстрактная теория групп»). О. Ю. Шмидт стал основателем школы советских алгебраистов, прославивших русскую алгебраическую науку на весь мир.

Выпуклость функции