Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Критерий интегрируемости

 Нижний и верхний интегралы.

Определение. Колебанием функции f(x) на отрезке [xk,xk+1] будем называть величину

wk (f) = sup |f(x) – f(y)| = Mk – mk , где точная верхняя грань берется по всевозможным x, y из отрезка [xk,xk+1], mk =, Mk =.

отметим, что

S(f,D) - s(f,D) =.

Определение. Нижним интегралом называется точная верхняя грань нижних сумм Дарбу = sup s(f,D). Верхняя грань берется во всевозможным разбиениям отрезка [a,b]. Аналогично определяется верхний интеграл , как точная нижняя грань верхних сумм Дарбу = inf S(f,D).

Отметим, что для ограниченной функции существует, как нижний, так и верхний интегралы. Это следует из того, что множество значений нижних сумм Дарбу ограничено сверху, например, значением любой верхней суммы Дарбу. Тоже самое можно сказать об ограниченности снизу множества значений верхних сумм Дарбу.

Теорема. Для любого разбиения D данного отрезка справедливы неравенства

s(f,D) £ £ £ S(f,D).

Доказательство. (см. рисунок Критерий интегрируемости.swf из файла иллюстраций к курсу) Не очевидным является только неравенство £ . Предположим противное, т.е., что  < . Выберем непересекающиеся e окрестности точек , , +e <- e. По определениям точных граней найдутся два разбиения D1 , D2 такие, что S(f,D1)< +e <- e < s(f,D2), что противоречит свойству сумм Дарбу.

 

 

 

Окрыленный успехами Шмидт приступает к написанию своей знаменитой монографии, посвященной некоторым вопросам современной алгебры («Абстрактная теория групп»). О. Ю. Шмидт стал основателем школы советских алгебраистов, прославивших русскую алгебраическую науку на весь мир.

Выпуклость функции