Интегральное исчисление пределы Производные Экстремум функции Система координат Поверхности Матрицы булевы функции дифференциалы интеграл произведение векторов теорема Коши Физические задачи математика Функции Формула Тейлора

Определенный интеграл

Суммы Дарбу и их свойства

Определения.

Пусть функция f(x) определена на [a,b] и D={a=x0< x1<…< xn=b} разбиение отрезка [a,b]. Нижней суммой Дарбу называется сумма

s(f,D)=, mk =.

Верхней суммой Дарбу называется сумма

S(f,D)=, Mk =.

Геометрический смысл сумм Дарбу см. файл 2_2_1.swf.

2.Свойства сумм Дарбу.

Определение. Если разбиение D2 получено из разбиения D1 добавлением некоторого числа узлов, то говорят, что разбиение D2 следует за разбиением D1 (или D2 является более мелким, чем D1), при этом пишут D1  D2 .

Для любого разбиения D и набора промежуточных точек xÎD имеют место соотношения

s(f,D) £ s( f,D,x) £ S(f,D), s(f,D) = s( f,D,x), S(f,D) = s( f,D,x).

Следует непосредственно из определения интегральных сумм и сумм Дарбу.

2) Если D1  D2 два разбиения данного отрезка, то

s(f,D1) £ s(f,D2) , S(f,D2) £ S(f,D1) .

Другими словами, при измельчении разбиения нижние суммы могут только возрасти, а верхние суммы могут только уменьшиться. Это утверждение достаточно доказать для случая, когда второе разбиение получено из первого добавление всего одной точки. Пусть новая точка появилась на отрезке [x¢k, x¢k+1]. Таким образом, во втором разбиении эта точка будет иметь номер k+1 и [x¢k, x¢k+1] =[x¢¢k, x¢¢k+1] È[x¢¢k+1, x¢¢k+2] (см. рисунок Дарбу2.swf из файла иллюстраций к курсу). Рассмотрим нижние суммы Дарбу. Нижняя грань по всему множеству [x¢k, x¢k+1] будет меньше или равна, чем нижняя грань по части этого множества, поэтому m¢k£ m¢¢k , m¢k£ m¢¢k+1 . Отличие сумм s(f,D1), s(f,D2) состоит в том, что во второй сумме вместо слагаемого m¢k(x¢k+1 - x¢k) появились два слагаемых m¢¢k D¢¢k+ m¢¢k+1 D ¢¢k+1. Таким образом, разность сумм

s(f,D2) - s(f,D1) = m¢¢k D¢¢k + m¢¢k+1 D ¢¢k+1 - m¢k D¢k = m¢¢k D¢¢k + m¢¢k+1 D ¢¢k+1  -

- m¢k (D¢¢k +D ¢¢k+1) = (m¢¢k - m¢k) D¢¢k +( m¢¢k+1 - m¢k ) D ¢¢k+1 ³ 0.

Здесь D¢k = x¢k+1 - x¢k = x¢¢k+2 - x¢¢k = x¢¢k+2 - x¢¢k+1 + x¢¢k+1 - x¢¢k = D¢¢k+1 +D ¢¢k .

Аналогично доказывается утверждение для верхних сумм Дарбу.

Для любых разбиений D1 ,D2 данного отрезка справедливо неравенство

s(f,D1) £ S(f,D2).

Обозначим через D3 = D1 ÈD2 разбиение, образованное всеми узлами двух исходных разбиений. Очевидно D1  D3 , D2  D3 . Тогда, как это следует из предыдущего свойства

s(f,D1) £ s(f,D3) £ S(f,D3) £ S(f,D2),

откуда и следует доказываемое неравенство.

 

 

Как и следовало ожидать, успехи молодого талантливого математика были скоро замечены. Профессор Д. А. Граве, создавший в России первую алгебраическую школу, привлек Отто Шмидта к работе своего семинара и стал руководить его научными исследованиями

Выпуклость функции