Математика курс лекций Последовательности

Таблица неопределенных интегралов
Два основных метода интегрирования
Предварительные сведения из алгебры
Разложение дроби на элементарные
Метод неопределенных коэффициентов
Интегрирование некоторых иррациональностей
Интегрирование дифференциальных биномов
Интеграл Римана Определения
Суммы Дарбу и их свойства
Нижний и верхний интегралы
Теорема Дарбу.
Классы интегрируемых функций
Свойства определенного интеграла
Пропускная способность в сетях связи
Теоремы о среднем
Производная интеграла по верхнему пределу
Формула Ньютона-Лейбница
Интегрирование по частям
Остаточный член формулы Тейлора
Некоторые применения определенного интеграла
Квадрируемые фигуры
Свойства площади
Площадь криволинейной трапеции
Вычисление площадей областей
Объем
Объем тела вращения
Площадь поверхности вращения
Первая теорема Гюльдена.
Несобственный интеграл первого рода
Критерий Коши
Несобственный интеграл второго рода
Признаки сравнения
Формула замены переменного
Функции Эйлера
Метрика. Расстояние.
Неравенство Коши-Буняковского
Теорема Больцано-Вейерштрасса
Геометрическая терминология
начертательная геометрия
История искусства
Сборник задач по физике
Атомная промышленность и наука
Применение MATLAB
при изучении курса электротехники
Имитационное моделирование
моделейПакет Simulink
Расчет электрических цепей
Моделирование цепей
переменного тока

 

 

Основные понятия, относящиеся к последовательностям

Предел последовательности

Теоремы о пределах последовательностей

Монотонные последовательности

Некоторые свойства последовательностей связанные со свойством непрерывности вещественных чисел

Верхний и нижний пределы последовательности

Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности

Свойства последовательностей

Источники и классификация погрешностей. Измерение ошибки.

Источники погрешности:

1. Человек измеряет входные данные приближенно.

2. В результате запоминания вещественных чисел в памяти ЭВМ.

3. Накопление ошибки в ходе арифметической операции.

4. Плохообусловленная исходная задача.

Классификация погрешностей:

Вычисляя какую-нибудь величину на ЭВМ, мы, как правило, получаем лишь ее приближенное значение, и надо уметь оценивать степень его уклонения от точного значения. Обозначим через x - точное, а через x~ - приближенное значения величины. Тогда ошибка будет равна x-x~ , а неотрицательную величину |x-x~| принято называть абсолютной погрешностью приближения x~:

. (1)

Однако абсолютной погрешности недостаточно, чтобы оценить близость приближения к точному значению. (10000 и 10001!). Относительная погрешность:

. (2)

Когда точное значение рассчитываемой величины близко к нулю, то вместо формулы (2), которой воспользоваться в этом случае трудно, удобнее использовать формулу:

. (3)

Данная величина объединяет в себе черты абсолютной и относительной погрешностей. Она близка к первой при |x|<<1 и мало отличается от второй при |x|>>1.

Абсолютная ошибка: ;

абсолютная точность: ;

s-точная верхняя граница абсолютной ошибки.

Относительная ошибка: ; относительная точность: ;

d-точная верхняя граница относительной ошибки.

1.2. Представление числа в ЭВМ. Зависимость машинной точности от формата представления числа с плавающей точкой.

Среди множества используемых форматов, для хранения произвольных вещественных чисел используется формат с плавающей запятой. В этом формате число x задается в виде

x = m Dk, (4)

где m - мантисса x, k - целое число, именуемое порядком числа, D - основание системы счисления. При конкретном значении D это представление будет единственным, если потребовать, чтобы мантисса была нормализована:

. (5)

В этом случае и мантиссу и порядок можно хранить в формате чисел с фиксированной запятой. При этом значащие цифры в мантиссе начинаются сразу после запятой - . Наименьшая мантисса, таким образом, равна 0.1. Так как нуль в этом случае является ненормализованным числом, то должен предусматриваться особый способ хранения нуля.

Вследствие данного способа записи и хранения чисел возникают определенные ограничения по представлению чисел. Так, например, в двоичной системе чисел, характерной для ЭВМ, нельзя точно представить число 0.1 . Порядок данного числа равен -3, а мантисса самого близкого к 0.1 числа будет зависеть от количества разрядов, отведенных под нее, и будет равна:

а) для 4-х разрядной мантиссы ;

б) для 6-ти разрядной мантиссы ;

в) для 8-ми разрядной мантиссы .

В общем случае, если под число отводится n разрядов в системе счисления с основанием D , то всего можно запомнить Dn различных чисел. Эти Dn чисел формируют так называемое представимое множество машины. Все иные, не попавшие в это множество числа, не могут быть представлены в ней точно, и запись любого из них в память машины будет сопровождаться некоторой ошибкой. Такие ошибки будем называть ошибками представления или ошибками округления, так как в случае записи не представимого в ЭВМ числа, происходит его округление или замена ближайшим представимым числом. Результат такого округления при запоминании числа x будем обозначать через fl(x).

Максимальное и минимальное по модулю числа определяются максимальным и минимальным порядком числа. Так, если kmin и kmax - это минимальное и максимальное значения порядка, то минимальное и максимальное представимые в памяти ЭВМ числа будут и .

Если округление происходит до ближайшего представимого числа, то точность представления любого числа определяется количеством разрядов мантиссы и порядком данного числа и не превышает (k- порядок числа, n - количество разрядов в мантиссе). Пусть x-ненулевое число, а x~= fl(x) -его округленное значение. Обозначим через m и m~ -мантиссы x и x~ соответственно

Математика производная, интеграл , дифференциальное исчисления