Основные
понятия, относящиеся к последовательностям
Предел
последовательности
Теоремы о пределах последовательностей
Монотонные
последовательности
Некоторые
свойства последовательностей связанные со свойством непрерывности вещественных
чисел
Верхний и нижний пределы последовательности
Фундаментальная
последовательность. Критерий Коши для последовательности
Свойства
последовательностей
Источники и классификация погрешностей. Измерение
ошибки.
Источники погрешности:
1. Человек измеряет входные данные
приближенно.
2. В результате запоминания вещественных чисел в памяти ЭВМ.
3.
Накопление ошибки в ходе арифметической операции.
4. Плохообусловленная
исходная задача.
Классификация погрешностей:
Вычисляя
какую-нибудь величину на ЭВМ, мы, как правило, получаем лишь ее приближенное значение,
и надо уметь оценивать степень его уклонения от точного значения. Обозначим через
x - точное, а через x~ - приближенное значения величины. Тогда ошибка будет равна
x-x~ , а неотрицательную величину |x-x~| принято называть абсолютной погрешностью
приближения x~:
. (1)
Однако абсолютной погрешности недостаточно,
чтобы оценить близость приближения к точному значению. (10000 и 10001!). Относительная
погрешность:
. (2)
Когда точное значение рассчитываемой величины близко
к нулю, то вместо формулы (2), которой воспользоваться в этом случае трудно, удобнее
использовать формулу:
. (3)
Данная величина объединяет в себе черты
абсолютной и относительной погрешностей. Она близка к первой при |x|<<1
и мало отличается от второй при |x|>>1.
Абсолютная ошибка: ;
абсолютная
точность: ;
s-точная верхняя граница абсолютной ошибки.
Относительная
ошибка: ; относительная точность: ;
d-точная верхняя граница относительной
ошибки.
1.2. Представление числа в ЭВМ. Зависимость машинной точности от
формата представления числа с плавающей точкой.
Среди множества используемых
форматов, для хранения произвольных вещественных чисел используется формат с плавающей
запятой. В этом формате число x задается в виде
x = m Dk, (4)
где
m - мантисса x, k - целое число, именуемое порядком числа, D - основание системы
счисления. При конкретном значении D это представление будет единственным, если
потребовать, чтобы мантисса была нормализована:
. (5)
В этом случае
и мантиссу и порядок можно хранить в формате чисел с фиксированной запятой. При
этом значащие цифры в мантиссе начинаются сразу после запятой - . Наименьшая мантисса,
таким образом, равна 0.1. Так как нуль в этом случае является ненормализованным
числом, то должен предусматриваться особый способ хранения нуля.
Вследствие
данного способа записи и хранения чисел возникают определенные ограничения по
представлению чисел. Так, например, в двоичной системе чисел, характерной для
ЭВМ, нельзя точно представить число 0.1 . Порядок данного числа равен -3, а мантисса
самого близкого к 0.1 числа будет зависеть от количества разрядов, отведенных
под нее, и будет равна:
а) для 4-х разрядной мантиссы ;
б) для 6-ти
разрядной мантиссы ;
в) для 8-ми разрядной мантиссы .
В общем случае,
если под число отводится n разрядов в системе счисления с основанием D , то всего
можно запомнить Dn различных чисел. Эти Dn чисел формируют так называемое представимое
множество машины. Все иные, не попавшие в это множество числа, не могут быть представлены
в ней точно, и запись любого из них в память машины будет сопровождаться некоторой
ошибкой. Такие ошибки будем называть ошибками представления или ошибками округления,
так как в случае записи не представимого в ЭВМ числа, происходит его округление
или замена ближайшим представимым числом. Результат такого округления при запоминании
числа x будем обозначать через fl(x).
Максимальное и минимальное по модулю
числа определяются максимальным и минимальным порядком числа. Так, если kmin и
kmax - это минимальное и максимальное значения порядка, то минимальное и максимальное
представимые в памяти ЭВМ числа будут и .
Если округление происходит до
ближайшего представимого числа, то точность представления любого числа определяется
количеством разрядов мантиссы и порядком данного числа и не превышает (k- порядок
числа, n - количество разрядов в мантиссе). Пусть x-ненулевое число, а x~= fl(x)
-его округленное значение. Обозначим через m и m~ -мантиссы x и x~ соответственно